Deje $A$ $B$ ser convexo compacto pone en $\mathbb{R}^n$. Definir $$ h_{+}(a,B) = \inf \left\{ \varepsilon > 0 \mediados de los A \subseteq B+\mathbb{B}_{\varepsilon} \right\} $$ donde $\mathbb{B}_{\varepsilon}$ $\varepsilon$- bola con centro en el origen. La distancia de Hausdorff entre el $A$ $B$ es $$ h(a,B) = \max \left\{ h_{+}(a,B), h_{+}(B,A) \right\} $$ La función de soporte de un conjunto convexo compacto $K$ se define como $$ c(y\mid K) = \max\limits_{x \in K} \langle y, x\rangle $$ Cómo mostrar que $$ h(a,B) = \max\limits_{ | y | \leq 1} | c(y \mediados de los A) - c (y \mid B) | $$ Traté de usar la transformación de Legendre, pero sin éxito.
Respuesta
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Para demostrar la afirmación anterior necesitamos una declaración adicional.
Lema. $h_{+}(A,B) = \sup\limits_{a \in A}\; \mathop{\mathrm{dist}}{(a,B)}$.
Prueba. $$ h_{+}(a,B) \leq \varepsilon \Leftrightarrow \subseteq B+\mathbb{B}(\varepsilon,0) \Leftrightarrow \forall \en \ (a \in B+\mathbb{B}(\varepsilon,0)) \\ \Leftrightarrow \forall \en \; \existe b\in B \colon|b-a|\leq\varepsilon \Leftrightarrow \forall \en \; \mathop{\mathrm{dist}}{(a,B)} \leq \varepsilon \\ \Leftrightarrow \sup\limits_{a \} \; \mathop{\mathrm{dist}}(a,B) \leq \varepsilon. $$ Desde $h_{+}(A,B) \leq \varepsilon$ fib $\sup_{a \in A} \; \mathop{\mathrm{dist}}(a,B) \leq \varepsilon$ son iguales. $\blacksquare$
Por lo tanto, tenemos una igualdad $$ h(a,B) = \max \left\{ \sup\limits_{a \} \; \mathop{\mathrm{dist}}(a,B), \; \sup\limits_{b \B} \; \mathop{\mathrm{dist}}(b,A) \right\}. $$ Recordemos que convexos conjugada de la función de $x \mapsto \mathop{\mathrm{dist}}(x,B)$ es una función de soporte compacto conjunto convexo $B$, es decir, $$ d(a,B) = \sup\limits_{\|l\| \leq 1} \left( \langle l, \rangle - c(l \mid B) \right). \etiqueta{1} $$ Ahora estamos listos para probar nuestro principal fórmula. Tenemos $$ \sup\limits_{a \} \; \mathop{\mathrm{dist}}(a,B) = \sup\limits_{a \in A} \sup\limits_{\|l\| \leq 1} ( \langle l, \rangle - c(l \mid B) ) = \sup\limits_{\|l\| \leq 1} ( c(l \mediados de los A) - c (l \mid B) ). $$ Hemos cambiado el orden de supremums en la última igualdad. Ahora ya $$ \sup\limits_{\|l\| \leq 1} | c(l \mediados de los A) -c (l \mid B) | = \max \{ \sup\limits_{\|l\| \leq 1} ( c(l \mediados de los A) - c (l \mid B) ), \sup\limits_{\|l\| \leq 1} ( c(l \mid B) - c (l \mid) ) \} $$ podemos obtener el necesario fórmula: $$ h(a,B) = \sup\limits_{\|l\| \leq 1} | c(l \mediados de los A) -c (l \mid B) |. $$
Añadido. En cuanto a la prueba de (1). Poner $f(x) = \mathop{\mathrm{dist}} (x,B)$. Entonces $$ f^*(l) = \sup_x \bigl( \langle l, x\rangle - f(x) \bigr) \\ = \sup_{b \B} \sup_x \bigl( \langle l, x\rangle - \|x-b\| \bigr) \\ = \sup_{b \B} \sup_{\alpha > 0} \sup_{\|x-b\|=\alpha} \bigl( \bigl( \langle l,x-b\rangle - \alpha \bigr) + \langle l, b \rangle \bigr) \\ = \sup_{b \B} \sup_{\alpha > 0} \bigl( \alpha(\|l\|-1) + \langle l, b\rangle \bigr) \\ = \sup_{b \B} \bigl( \langle l, b\rangle + \delta_1(\|l\|) \bigr) \\ = c(l|B) + \delta_1(\|l\|), $$ donde $\delta_1(t) = 0$ si $t\leq 1$ $\delta_1(t) = +\infty$ lo contrario. Por lo tanto, $$ \mathop{\mathrm{dist}} d(x,B) = \sup_l \bigl( \langle l,x\rangle - c(l|B) - \delta_1(\|l\|) \bigr) \\ = \sup_{\|l\|\leq 1} \bigl( \langle l, x \rangle - c(l|B) \bigr). $$
