Cómo explicar los soportes para los jóvenes estudiantes

Question

Es increíble con qué facilidad las preguntas de los jóvenes estudiantes a menudo pueden descubrir inesperadas lagunas en (al menos a mi) el conocimiento, o al menos la capacidad de explicar.

Hoy en día, un estudiante me preguntó por qué ella puede "olvidar el soporte": $$ x+(x+5)=x+x+5 $$ Estudiante de la escuela primaria de la idea de soportes es que tengo que calcular esta antes que cualquier otra cosa y por lo tanto el estudiante piensa que quizás $(x+5)$ es una entidad propia, de no ser tocado (ya que no se puede realmente agregar$x$$5$).

Mi enfoque era

1. Demostrar en números naturales (es decir, prueba por ejemplo) que ninguna cantidad de horquillado va a cambiar el resultado con la adición de lidiar con este ejemplo específico.

2. Explique que $(x+5)$ $-(x+5)$ puede ser considerado como un caso especial/abreviatura de $c(x+5)$ (debido a la multiplicación de un soporte de un número es algo que la mente del estudiante automáticamente reconoce y sabe cómo hacerlo) y por lo tanto $(x+5)$ "realmente" es igual a $1(x+5)$ $-(x+5)$ "realmente" es igual a $-1(x+5)$, esperemos que garantizar el alumno no comete un error en el futuro.

Sin embargo, no estoy convencido de que he conseguido plenamente en la prestación de un buen proceso mental para lidiar con corchetes en su mente. Así que yo estoy pidiendo:

¿Cómo/explicar entre paréntesis? ¿Cuál es la mejor/generalmente aceptado (si es que la hay)?

Answer 1

Tal vez vale la pena dar un paso atrás y recordando a sus estudiantes cómo aprendieron a hacer la adición.

Si tengo una pila de X jellybeans, y otro montón de X jellybeans, y otro montón de 5 caramelos, qué importa que la orden de no ponerlos juntos?

hmmm... dulces de colores :)

Edit: en respuesta al comentario, por favor siéntase libre para sustituir jellybeans con una alternativa de confección de su elección.

Answer 2

En mi opinión esta más pedagógico que un problema matemático.

En mi antigua experiencia de profesor que se enfrentaron a este problema de esta forma.

1) Los paréntesis se utilizan para determinar el orden en que se ejecutan las operaciones. Así que no siempre los paréntesis son necesarios, es decir, si se cambia el orden de las operaciones, el resultado es el mismo paréntesis son innecesarios.

2) Presentación de las propiedades de las operaciones que requiere el uso de paréntesis o no. En particular, la asociatividad (los paréntesis pueden ser eliminadas) y la distributividad (aquí los paréntesis son importantes).

3) Estudio de casos particulares en los que el estudiante tiene que decidir si los paréntesis son necesarios o no, pero, en ese primer momento, sin uso sutil de la neutral elementos $1,0$ y de inversa o de los elementos opuestos. E. g.: $$ 3+(2+5);\quad (3\cdot2)+5 ;\quad 3\cdot(2+5) ;\quad (3\cdot2)+(5\cdot4);\quad 3\cdot(2+5)\cdot4 $$ y el uso de estas para establecer la prioridad de la regla de la multiplicación respecto a la adición.

4) verificar cuáles de las propiedades en 2) tiene una regla en los ejercicios 3).

5) Introducir, con cuidado, inversa y los elementos opuestos. En mi experiencia, este es el paso más difícil y es importante que esto se realiza mediante una serie de ejercicios en los que los estudiantes tienen para explícita esta neutral elementos en diferentes expresiones como: $$ \quad 3\cdot[-(1-3)-2)] ;\quad 1-2\cdot[-(\dfrac{1}{2} -1)];\quad-(1-2)\cdot[-(\dfrac{1}{2} -1)] $$ Estoy convencido de que esto no es una pérdida de tiempo.

6) Ahora ya podemos ir a ejercicios como el 3), pero con "oculto" neutral elementos.

Answer 3

Estoy de acuerdo con Surb's comentario que $(x+5)=1(x+5)$ $-(x+5)=-1(x+5)$ le da al estudiante algo a aferrarse a la. También, este principio aparece una y otra vez a la hora de encontrar la pendiente de las líneas de $y=\pm x+b=\pm 1x+b$ o en expresiones cuadráticas $f(x)=\pm x^2+bx+c=\pm 1x^2+bx+c$ etc.

Por lo $1,-1$ $0$ son números ocultos. Con respecto a $0$,, por ejemplo, tenemos $y=3$ donde el estudiante busca la pendiente en vano. Finalmente, el estudiante que adivine $a=b=3$, lo cual es incorrecto y, a continuación, la narración acerca de Surb de los números de magia comienza, con el fin de saber por qué se $0x=0=\text{nothing}$ está oculto en el que la expresión ;)

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Responder el comentario por cobaltduck a Steve Jessop la respuesta, lo que sugiere (citando a Dumbledore +1) que por no llamar a esta regla por el nombre de la asociatividad sólo produce miedo de lo que ese nombre representa:

Yo creo mucho en la perspectiva contempladas en el artículo "Sobre La Doble Naturaleza de la Matemática Concepciones" por Anna Sfard (publicado en Estudios Educativos en Matemáticas 22, 1-36, 1991), que el proceso de aprendizaje de un estudiante el aprendizaje de las matemáticas imita los principios del proceso de aprendizaje de la raza humana como tal en el desarrollo histórico de la materia.

Si un estudiante está en una etapa todavía incierto si $x+(x+5)=x+x+5$ los cimientos todavía no se han puesto a la más abstracta idea de asociatividad. Ciertamente sabía $x+(x+5)=x+x+5$ bien antes he oído que la terminología. Cuando encontré por primera vez el concepto de asociatividad, muy generalizada, de una intuición y el conocimiento que ya tenía acerca de la manipulación algebraica y expresiones numéricas.

Mientras que un ordenador puede ser programado para seguir una serie de reglas, por lo tanto el manejo de aquellos para producir resultados deductivamente, yo creo que los seres humanos aprenden las reglas de forma inductiva. Habiendo aprendido una regla, un ser humano puede, a continuación, aplicar la regla deductiva a nuevos problemas en el ámbito de aplicación de esa regla.

Al menos eso es lo que yo creo.

Answer 4

Supongo que si usted está utilizando el $x$, entonces usted está en el punto de la enseñanza que nos manipular expresiones de acuerdo a las reglas. Tenemos una regla de aquí, llamado "el olvido de los paréntesis", y la tarea es para justificar, tanto en términos de por qué es bueno en matemáticas, y también debido a que el alumno pueda recordar y usar las cosas que tienen sentido mucho más fácilmente que una larga lista de aparentemente arbitrario de la información.

Estoy de acuerdo en que el uso de algunos ejemplos para demostrar que funciona es un buen primer paso. Si esto satisface el estudiante, OK, pero queremos que ellos entiendan la regla y no simplemente aceptarlo.

Así, de forma similar a Zaaier, yo diría que la razón por la que estamos permite escribir:

$$x + x + 5$$

es que:

$$(x + (x + 5)) = ((x + x) + 5)$$

Esta propiedad de la suma se llama "asociatividad", aunque teniendo en cuenta las propiedades de los operadores generales pueden ser demasiado abstracción. El juez de este para el estudiante individual.

De todos modos, este hecho sobre la suma es lo que nos permite "olvidar los soportes" en cualquier lugar en una secuencia de sumas. Traer conmutatividad en ella también, y usted puede también cambiar el orden de los sumandos:

$$x + 5 + x = (x + 5) + x$$

(el significado implícito)

$$= x + (x + 5)$$

(conmutatividad)

$$= (x + x) + 5$$

(asociatividad)

Por supuesto, he intencionalmente omite algo. El siguiente, perfectamente razonable, la pregunta que se enfrentará es ¿por qué se nos permite escribir:

$$x - x - 5$$

a pesar de que:

$$((x - x) - 5) \neq (x - (x - 5))$$

La razón de esto es que estamos aplicando una "izquierda a derecha" de la regla, de modo que en ausencia de soportes de $x - x - 5$ siempre significa $((x - x) - 5)$, no $(x - (x - 5))$. Esta es la razón por la que no podemos "olvidar los soportes" en $x - (x - 5)$, aunque nos podemos olvidar de ellos en $x + (x + 5)$.

De forma similar, tenemos las reglas de prioridad que nos permiten escribir $2x + 5$ a la media de $(2x) + 5$ y así sucesivamente. También tenga cuidado si usted hace la eslinga alrededor de las grandes palabras como "asociatividad". La adición es asociativa y la multiplicación es asociativa, pero que usted necesita para enseñar que esto no implica que:

$$(x + y) \times z = x + (y \times z)$$

El punto crucial es que siempre podemos poner entre paréntesis todas partes, pero no queremos tener que escribir, así que nos hemos inventado reglas para mantener el número de soportes hacia abajo mientras se asegura de que lo que escribe tiene un único significado posible. "El olvido de los corchetes" es lo que hacemos cuando (y sólo cuando) la expresión más corta sin soportes, ya sea significa exactamente la misma cosa como la más larga con corchetes, o el resto es igual, porque el orden de cálculo no importa.

Answer 5

Entre paréntesis dictar el orden de las operaciones cuando la evaluación de una expresión. Cuando nos dicen:

2 * 3 + 4

tenemos que decidir en qué orden, aquellos que son evaluados, y que la elección es bastante arbitraria. Así, todos estamos de acuerdo que

2 * 3 + 4 = 6 + 4 = 10

o que

2 * 3 + 4 = 2 * 7 = 14

Lo que pasa es que todo mundo está de acuerdo para evaluar la multiplicación y la división antes de la adición y la sustracción. Por lo tanto, si queremos tener

2 * 3 + 4 = 14

a continuación tenemos que añadir entre paréntesis, de manera que se evalúa en la forma en que queremos. Específicamente, podemos escribir

2 * (3 + 4) = 14

y todos están de acuerdo para evaluar el paréntesis primera subexpresión (PEDMAS). De esa manera, todo el mundo recibe la misma respuesta cuando se evalúe la expresión completa.

En el caso de

1 + 2 + 3 = 6

se da la circunstancia de que, no importa donde colocar los paréntesis, que siempre tienen 6.

1 + 2 + 3 = 1 + (2 + 3) = (1 + 2) + 3 = (1 + 2 + 3) = ((((1 + ((2) + 3)))))

Y si siempre se obtiene el mismo número, entonces las expresiones son iguales, y que se puede decir así. Y entonces terminamos "haciendo caso omiso de los soportes".

En el caso de

x + (x + 5) = x + x + 5

¿hay algún valor de x donde estas no terminan siendo iguales?

He aquí otro ejemplo:

x + (((x + 5))) = x + (x + 5)

(De todos modos, esa es mi tiro a explicar a $f = g \iff \forall x \in \mathbb{R}, f(x) = g(x)$)