Limite el ejercicio de Rudin

Question

Este es el Capítulo 3, Ejercicio 2 de los Principios de Rudin.

Calcular$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt{n^2+n} -n$.

Sugerencias serán apreciadas.

Answer 1

Sugerencia:$$\frac{\sqrt{n^2+n}-n}{1} = \frac{\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2}}{1}\times \frac{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2}}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2}} = \cdots$ $ Expandiré más si es necesario.

Answer 2

$\sqrt{n^2+n} - n= \frac{n}{\sqrt{n^2+n} + n} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac 1n} + 1}$

Answer 3

Cuando tiene una secuencia que implica una diferencia entre dos raíces, a menudo es una buena idea intentar usar la identidad$(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ para eliminar la diferencia raíz: $$ \ sqrt {a} - \ sqrt {b} = \ left (\ sqrt {a} - \ sqrt {b} \ right) \ frac {\ sqrt {a} + \ sqrt {b}} {\ sqrt {a} + \ sqrt {b}} = \ frac {\ left (\ sqrt {a} - \ sqrt {b} \ right) \ left (\ sqrt {a} + \ sqrt {b} \ right)} {\ sqrt {a} + \ sqrt {b}} = \ frac { a - b} {\ sqrt {a} + \ sqrt {b}} $$

Answer 4

Para tener una idea de cuál podría ser la respuesta, traté de ingresar valores: n = 100, n = 1000, n = 1000000. por ejemplo, para n = 1000, sqrt (1000000 + 1000) ~ 1000 + 1/2 porque (1000 + 1/2) ^ 2 = 1000000 + 2 * 1000 * (1/2) + 1/4 ~ 1000000 + 1000.

Si puedes ver esto, entonces el resto es fácil.

Answer 5

También puede hacer esto inductivamente demostrando que está aumentando y limitado, pero sus ideas probablemente sean una mejor ruta.