¿Por qué esta prueba de la regla de la cadena es incorrecta?

Question

Vi esta prueba de la regla de la cadena, pero dice que esta es una prueba imperfecta. ¿Por qué? Adiviné la razón por la que está mal porque no puede sustituir$g(x+h)$ y$g(x)$ por el límite.

Answer 1

Para ampliar mi comentario, la cuestión fundamental es que el $g(x+h) - g(x)$ pueden desaparecer en cualquier barrio alrededor de $h=0$. La cuestión de la $g'(x)$ $0$ (aunque, desde luego, un error en la prueba) no es importante, ya que esta "prueba" puede ser trivialmente modificado de manera que la $g'(x)$ estancias en el lado derecho. Por ejemplo,

$$\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} = \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h) - g(x)} \cdot \frac{g(x+h) - g(x)}{h} \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

y deje $h \to 0$ en la ecuación. El problema, nuevamente, es que podemos tener $g(x+h) = g(x)$ en todos los barrios de $x$ para determinados mal comportamiento de las funciones (ex. $g(t) = t^2\sin \frac 1t$, $x=0$ ).

El truco (el crédito de Michael Spivak) es como sigue. Definir $$\sigma(h) = \begin{cases} f'(g(x)) & g(x+h) = g(x) \\ \ \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h) - g(x)} & \text{otherwise} \end{casos}$$

y tenga en cuenta que como $h \to 0$, esto tiende a $f'(g(x))$ sin ningún tipo de división por cero problemas. Ahora, suplente $\sigma(h)$ para la primera fracción, en los HR en $(1)$ y deje $h \to 0$. La sustitución se justifica debido a la igualdad en la versión modificada de $(1)$ tendrá siempre (se puede ver por qué?).

Answer 2

Debo decir que es muy raro, prueba (o tal vez un extraño intento de prueba de la regla de la cadena) y no realmente captura la esencia de la regla de la cadena que dice que:

Regla de la cadena: Si $g$ es diferenciable en a $a$ $f$ es diferenciable en a $g(a)$ $f\circ g$ es diferenciable en a$a$$(f\circ g)'(a) = f'(g(a))g'(a)$.

La prueba presentada en su post se supone que $(f\circ g)'(a)$ existe (considerando que esta es la conclusión y no a las hipótesis de la regla de la cadena). Otro problema es que se supone $g'(a) \neq 0$ que es una especie de muy artificial restricción. Por lo que la prueba se administra en tu post no es acerca de la regla de la cadena, sino que es una prueba del siguiente resultado (que puede, en el mejor ser llamado una versión más simple de la regla de la cadena):

Teorema: Si $g$ es diferenciable en a $a$ $g'(a) \neq 0$ $f$ es diferenciable es $g(a)$ $f\circ g$ es diferenciable en a$a$$(f\circ g)'(a) = f'(g(a))g'(a)$.

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Por CIERTO, espero que tu libro ha dado una adecuada prueba de la regla de la cadena y, a continuación, comparándolo con uno de los muchos errónea de las pruebas disponibles en el cálculo de los libros de texto. Si no, entonces usted necesita considerar dos casos en la prueba de la regla de la cadena: 1) cuando $g'(a) \neq 0$ y 2) al $g'(a) = 0$.

El primer caso es fácil. El hecho de que $$g'(a) = \lim_{h \to 0}\frac{g(a + h) - g(a)}{h}\neq 0$$ means that there is a value $\delta > 0$ such that $$\frac{g(a + h) - g(a)}{h}\neq 0$$ for all $h$ with $0 < |h| < \delta$. This ensures that $g(a + h) - g(a) \neq 0$ for $0 < |h| < \delta$.

Ahora tenemos \begin{align} (f\circ g)'(a) &= \lim_{h \to 0}\frac{f(g(a + h)) - f(g(a))}{h}\notag\\ &= \lim_{h \to 0}\frac{f(g(a + h)) - f(g(a))}{g(a + h) - g(a)}\cdot\frac{g(a + h) - g(a)}{h}\notag\\ &= \lim_{k \to 0}\frac{f(g(a) + k) - f(g(a))}{k}\cdot\lim_{h \to 0}\frac{g(a + h) - g(a)}{h}\text{ (putting }k = g(a + h) - g(a))\notag\\ &= f'(g(a))g'(a)\notag \end{align}

Si $g'(a) = 0$, entonces podemos establecer que $(f\circ g)'(a) = 0$. Deje $\epsilon > 0$ ser dado. Vamos a encontrar una $\delta > 0$ tal que $$\left|\frac{f(g(a + h)) - f(g(a))}{h}\right| < \epsilon$$ for $0 < |h| < \delta$. Since $f'(g(a))$ exists it follows that the ratio $$\frac{f(g(a) + k) - f(g(a))}{k}$$ is bounded for all sufficiently small values of $k$ and thus there are positive constants $M, \delta_{1}$ such that $$\left|\frac{f(g(a) + k) - f(g(a))}{k}\right| < M\tag{1}$$ for $0 < |k| < \delta_{1}$.

Más $g'(a) = 0$ significa que hay un $\delta > 0$ tal que $$|g(a + h) - g(a)| < \delta_{1}, \left|\frac{g(a + h) - g(a)}{h}\right| < \frac{\epsilon}{M}\tag{2}$$ for all $h$ with $0 < |h| < \delta$.

Deje $k = g(a + h) - g(a)$. Si $k = 0$$f(g(a + h)) - f(g(a)) = 0$, de modo que $$\left|\frac{f(g(a + h)) - f(g(a))}{h}\right| < \epsilon$$ trivially and if $k \neq 0$ then using $(1)$ and $(2)$ vemos que \begin{align} \left|\frac{f(g(a + h)) - f(g(a))}{h}\right| &= \left|\frac{f(g(a) + k) - f(g(a))}{k}\right|\cdot\left|\frac{g(a + h) - g(a)}{h}\right|\notag\\ &< M \cdot\frac{\epsilon}{M} = \epsilon\notag \end{align} para todos los valores de $h$$0 < |h| < \delta$. Así, hemos establecido la regla de la cadena para el caso de al $g'(a) = 0$.

Answer 3

Hay dos cosas mal con esta prueba:

1) No funciona si$g^{\prime}(x) = 0$.

2) Asume al comienzo que$(f \circ g)^{\prime}$ es diferenciable en$x$. Observe este paso particular:

ps

La única razón por la que esto funciona es porque usaron ese$$(f \circ g)^{\prime}(x)\cdot \dfrac{1}{g^{\prime}(x)} = \lim_{h \to 0}\dfrac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} \cdot \dfrac{h}{g(x+h)-g(x)}$ $ que usa la suposición de que existen ambos límites . Esto es una lógica circular. Además,$$\lim_{h \to 0}\dfrac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} \cdot \dfrac{h}{g(x+h)-g(x)} \\ = \lim_{h \to 0}\dfrac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}\cdot \lim_{h \to 0}\dfrac{h}{g(x+h)-g(x)}$ $ solo funciona si$$\lim_{h \to 0}\dfrac{h}{g(x+h)-g(x)} = \dfrac{1}{\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}}$.

Answer 4

Veo al menos dos problemas:

1. en la prueba, se divide entre$g'(x)$, lo que requeriría que$g'(x) \ne 0$ no siempre sea verdadero;
2. en la ecuación$$(f \circ g)'(x)\cdot\frac{1}{g'(x)}=\lim_{h \to 0} \left(\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}\right)\cdot\left(\frac{h}{g(x+h)-g(x)}\right) $ $ está asumiendo que$\lim_{h \to 0}\left(\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}\right)$ existe, generalmente los comprueban demostrando que$(f\circ g)'(x)$ de hecho dicho límite, pero tal vez puede probar la existencia del límite por otros medios .

Espero que esto ayude.