Estoy leyendo una prueba de sumación de Poisson fórmula que establece que (con mi versión de la transformada de Fourier - creo que a veces varían por un factor constante) por $f$ un Schwartz de la función en $\mathbb{R}$ (es decir, una función suave con todos los derivados de $f(x)$ de todos los pedidos caen más rápido que cualquier función polinómica como $|x| \to \infty$), la siguiente relación se tiene:
$\sum \limits_{n \in \mathbb{Z}}f(n) = \sum \limits_{n \in \mathbb{Z}}\hat{f}(2\pi n) = $
donde $\hat{f}$ denota la transformada de Fourier. La prueba es como sigue: definir 2 funciones en $\mathbb{T} = \{z: |z| = 1\}$$F, G: \mathbb{T} \to \mathbb{C}$$F(\theta) = \sum \limits_{n \in \mathbb{Z}}\hat{f}(2\pi n) e^{2 \pi i n \theta}$, e $G(\theta) = \sum \limits_{k \in \mathbb{Z}}f(\theta + k)$. A continuación, tomar las transformadas de Fourier y demostrar que son iguales. Después de mostrar también que $F$ $G$ son tanto Schwartz funciones en $\mathbb{T}$, se aplica la singularidad de la serie de Fourier para mostrar que $F=G$. Ahora singularidad aquí se basa mucho en el hecho de que tanto $F$ $G$ son Schwartz funciones en $\mathbb{T}$: pero un Schwartz de la función en $\mathbb{T}$ es simplemente un elemento de $C^\infty (\mathbb{T})$, es decir, una función suave en $\mathbb{T}$.
Por lo tanto, mi pregunta es esta: ¿cómo sabemos (o mostrar) que $F$ $G$ son lisas? Está claro que ambos son periódicas, por lo que será suficiente para mostrar la suavidad dentro de sus respectivos períodos, supongo. $f$ es de Schwartz en $\mathbb{R}$, lo que significa que es suave, pero estamos tomando una infinita suma de las traducciones de $f$, por lo que no es manifiestamente claro que cualquiera de las $F$ o $G$ permanecerá suave. ¿Cómo se demuestra esto? Supongo que necesitamos para hacer uso del hecho de que en general los valores de $f$ está muy de descomposición rápida para mostrar que la mayoría de los términos son "insignificantes" en las sumas, pero siempre traté de probar la suavidad formalmente se hizo desordenado. Hay un buen truco para mostrar $F$ $G$ son suaves en $\mathbb{T}$? Yo estaría muy agradecido por una prueba de la realidad. Muchas gracias de antemano.
