Demostrar que un polinomio de grado$d$ tiene como máximo$d$ raíces (sin inducción)

Question

Permita que$p(x)$ sea un polinomio distinto de cero en$F[x]$,$F$ un campo, de grado$d$. Entonces$p(x)$ tiene como máximo$d$ raíces distintas en$F$.

¿Es posible probar esto sin usar inducción en grado? Si es así, ¿cómo puedo hacer esto?

Answer 1

Si$p(x)$ tuviera más de$d$ raíces distintas en$F$, entonces tendría al menos$d+1$ factores lineales$(x - r_1), (x - r_2), \cdots$. Esto es imposible.

(Editar: vea también el comentario de Inceptio).

Answer 2

No estoy seguro de si usar el teorema de residuos cuenta, y esto solo funciona sobre$\Bbb C$, pero:

Mire$\int P'(z)/P(z) \;dz$ donde integra en un círculo$|z| = r > |x_i|$.

Como$r \to \infty$, esto es equivalente a$\int d/z \;dz = 2id\pi$.
Mientras tanto, el teorema del residuo dice que la integral es$\sum 2i\pi \mu_i$ donde$\mu_i$ es la multiplicidad de la raíz$x_i$. Por lo tanto, el número de raíces, contadas con su multiplicidad, es igual a$d$, el grado del polinomio.

Answer 3

Si $p(x)=0$ tiene una raíz $x=a$,$p(a)=0$$p(x)=p(x)-p(a)$.

$p(x)-p(a)$ es la suma de términos como" $c_rx^r-c_ra^r=c_r(x-a)(x^{r-1}+ax^{r-2}+a^2x^{r-3}+ \dots +a^{r-1})$

Y desde $x-a$ es un factor de cada término, es un factor de $p(x)$. Así que cada raíz nos da un factor linear.

Supongamos $p(x)=k(x-a_1)(x-a_2) \dots (x-a_d)$ grado $d$ $d$ raíces $a_1 \dots a_d$ $b$ es distinta de todas estas, a continuación, $p(b)$ es un producto de la no-cero de los factores, por lo que no puede ser igual a cero.

Es esta una prueba sin la inducción? Difícil de decir. Por ejemplo, ¿cómo podemos probar que si $r$ divide cada una de las $e_1, e_2 \dots e_n$ a continuación, se divide a su suma?

Pero el paso de división, con $p(x)=(x-a)q(x)$ $q(x)$ tener estrictamente menor grado de $p(x)$ conduce a una secuencia descendente de los números enteros (los órdenes de los polinomios obtenidos por divisiones sucesivas), y lo que necesitamos saber para que es que (i) cualquier estrictamente descendente de la secuencia de enteros no negativos es finito; y (ii) podemos obligado de la longitud de la secuencia por $d$ - y podemos hacer esto mediante la observación de que hay $d$ enteros no negativos a menos de $d$.

Así que todo depende de las propiedades de los números enteros que nos permite asumir - y eso es porque tenemos la necesidad de decir cosas sobre el grado de $p(x)$ - un entero, y también tenemos que hacer las cosas como la indexación de los coeficientes.