Si un número entero es un cuadrado y un cubo, entonces puede ser escrito como $5n, 5n+1$ o $5n+4$

Question

Quiero demostrar que si un número entero es un cuadrado y un cubo, entonces puede ser escrito como $5n, 5n+1$ o $5n+4$.

Intenté lo siguiente. Hay números enteros $x, y$ tales que $n=x^{2}=y^{3}.$ Al usar la división euclidiana, entonces $x$ e $y$ pueden ser escritos como $5k, 5k+1, 5k+2, 5k+3$ o $5k+4.$ Si $x=5k$ y $y=5l$ tenemos $n=5(5k^{2})=5(5^{2}l^{3}).$ Si $x=5k,$ entonces debemos tener $y=5l.$ No sé qué hacer. ¿Algún consejo?

Answer 1

Ya si un entero es un cuadrado, debe ser de las formas que has descrito.

Es más fácil demostrar esto usando la notación de congruencia. Cualquier entero es congruente a $0$, $1$, $2$, $3$ o $4$ módulo $5$. Ahora nota que $0^2$, $1^2$, $2^2$, $3^2$ y $4^2$ son respectivamente congruentes a $0$, $1$, $4$, $4$ y $1$ módulo $5, por lo tanto nunca a $2$ o a $3$ módulo $5.

Si no queremos usar la notación de congruencia, calculamos el resto cuando se dividen $(5k)^2$, $(5k+1)^2$, $(5k+2)^2$, $(5k+3)^2$ y $(5k+4)^2$ por $5$. Como ejemplo, hagámoslo para $(5k+3)^2$. Esto es $25k^2+30k+9$, que es $5(5k^2+6k+1)+4$, por lo tanto tiene un resto de $4$ en la división por $5.

Por curiosidad, exploremos los cubos módulo $5$. Nota que $0^3$, $1^3$, $2^3$, $3^3$ y $4^3$ son respectivamente congruentes a $0$, $1$, $3$, $2$ y $4$ módulo $5. Entonces, a diferencia de los cuadrados, los cubos pueden tomar cualquier valor módulo $5.

Observando los números $0$, $1$ y $64$, que son todos cuadrados perfectos y cubos perfectos, podemos ver que en realidad un número que es un cuadrado perfecto y un cubo perfecto puede ser de cualquiera de las formas descritas.

Answer 2

Pista $\ $ Los cuadrados módulo $5$ son $\rm\:\{0,\pm1, \pm2\}^2 \equiv \{0,1,4\},\:$ por lo que la condición del cubo es redundante.

Answer 3

Muy tarde pero aquí hay una forma ligeramente diferente (similar a la de Andre):

$$ n=a^3=b^2 $$ claramente significa, a es un cuadrado de algún número entero y b es un cubo de algún otro número entero, entonces $$ n=x^6=(10*m+n)^6. $$ ya que solo nos importa el primer dígito, los sextos poderes (módulo 10) de los primeros 10 números son: $$ 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1 $$ que son de la forma $$ 5k, 5k+1, 5k+4 $$