Demuestre que$ \frac {\mathbb Z}{p \mathbb Z} \times \frac {\mathbb Z}{p \mathbb Z}$ no es isomorfo a Aut ($G$) para ningún grupo abelian$G$

Question

Aquí hay un problema en el que estoy atascado:

Demuestre que$ \frac {\mathbb Z}{p \mathbb Z} \times \frac {\mathbb Z}{p \mathbb Z}$ no es isomorfo a Aut ($G$) para ningún grupo abelian$G$.

En el Contrario, suponemos que$ \phi$:$ \frac {\mathbb Z}{p \mathbb Z} \times \frac {\mathbb Z}{p \mathbb Z} \to Aut(G)$ es un isomorfismo, por lo tanto, obtenemos que$ \frac {\mathbb Z}{p \mathbb Z} \times \frac {\mathbb Z}{p \mathbb Z}$ actúa sobre$G$. También como$G$ es abelian, por lo tanto$G$ es un$ \frac {\mathbb Z}{p \mathbb Z} \times \frac {\mathbb Z}{p \mathbb Z}$ - module.¿Cómo concluir desde aquí? Estoy bastante seguro de que tenemos que usar el hecho de que$ \frac {\mathbb Z}{p \mathbb Z} \times \frac {\mathbb Z}{p \mathbb Z}$ es un$ \frac {\mathbb Z}{p \mathbb Z}$ - módulo de rango 2 .¿Algunas ideas?

Answer 1

Supongamos lo contrario. Como$G$ es abelian$\operatorname{Aut}G$ contiene un elemento de orden$2$ ($f:G\to G$,$f(x)=x^{-1}$), entonces$2\mid p^2$ y, por lo tanto,$p=2$ . (Sin embargo, si$x^{-1}=x$ para todos$x\in G$, entonces$G$ es isomorfo a una suma directa de copias de$\mathbb Z/2\mathbb Z$ y a menos que$|G|=2$ su grupo de automorfismos no sea abeliano .) Pero en este caso$G=\mathbb Z/8\mathbb Z$ tiene la propiedad de$\operatorname{Aut}G\simeq\mathbb Z/2\mathbb Z\times\mathbb Z/2\mathbb Z$, por lo que puede suponer que$p>2$.