Tensor métrico en la TRG

Question

Acabo de leer en esta página web que tenemos (haz clic aquí) $g_{\alpha \beta} = g_{\alpha}^{\beta} = g^{\alpha \beta}.

Ahora, aunque entiendo que el primero y el último son iguales, no creo que el término en el medio sea el mismo que los otros dos, ya que deberíamos tener $(g_{\alpha} ^{\beta}) = (g_{\alpha \alpha'})(g^{\alpha' \beta})$. Esto debería ser igual a la matriz identidad.

¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Esa afirmación es un sinsentido.

Aunque es cierto que, en el espacio plano, los componentes de $g^{\mu\nu}$ y $g_{\mu\nu}$ son exactamente iguales, la ecuación $g^{\mu\nu} = g_{\mu\nu}$ no es una ecuación válida: los índices no coinciden.

Como observas correctamente

$$ {g_\mu}^\nu = g_{\mu\rho}g^{\rho\nu} = {\delta_\mu}^\nu$$

puesto que $g_{\mu\nu}$ es la matriz inversa de $g^{\mu\nu}$.

Answer 2

Primero una palabra sobre la notación. En la relatividad especial, la métrica de Minkowski es $\eta_{\alpha\beta}$. La métrica curvada de la relatividad general es $g_{\mu\nu}$. Muchos textos que sólo usan la métrica de Minkowski no hacen esa distinción por alguna razón. Sin embargo, cuando llegas a la teoría de cuerdas y hay cuatro métricas diferentes flotando, es importante mantener las cosas claras llamando a $\eta_{\alpha\beta}$ la métrica del espacio plano. ¡Esto es una gran manía mía!

Segunda manía: La afirmación de que los tensores co- y contravariantes son iguales es un absurdo. Los componentes son iguales. Ni siquiera tiene sentido decir que dos tensores pertenecientes a álgebras tensoriales diferentes son iguales.

Ahora a tu pregunta. Ese es un error por parte del autor. Tienes toda la razón. Como has demostrado, $$\eta^\alpha_\beta=\delta^\alpha_\beta$$