Abra Bolas en Metric Space.

Question

Estoy trabajando con el espacio métrico $(\mathbb{N}, \rho)$ donde $\mathbb{N}$ es el conjunto de los números naturales y $\rho(x,y) = |\frac{1}{x} - \frac{1}{y}|$.

Estoy pensando en el abierto de bolas en esta métrica. Hay alguna que son finitos? Infinito? Todos los de $\mathbb{N}$?

Mi corazonada es que hay abierto las bolas que son finito y lo infinito. Por ejemplo, el open de bola de $B(1, \frac{1}{2})$ parece ser {$1$}.

Pero si hacemos el radio de más de $1$ no la abra bola de convertirse en infinito?

Estoy en lo cierto? ¿Hay alguna abierta bolas que son finitos? Infinito? Todos los de $\mathbb{N}$? Cualquier otro declaraciones generales que podemos hacer al abrir las pelotas?

Answer 1

$B(a,r)$ es la solución de $\left|\dfrac1a -\dfrac1x\right|<r$, que es fácil de resolver:

$ x>\dfrac{a}{1+r} \qquad \qquad \qquad\text{si } r\ge\dfrac1a $

$ \dfrac{a}{1+r}<x<\dfrac{a}{1-r} \qquad \text{si } i<\dfrac1a $

En el primer caso, la pelota es infinito. En el segundo caso, la pelota es finito.

En particular, la pelota es infinito si $r\ge1$ y la bola centrada en $1$ es de $\mathbb N$ si $r=1$.

Answer 2

Tu sospecha es correcta. Las bolas abiertas en$(\mathbb N,\rho)$ son finitas o cofinitas (es decir, tienen todos pero finitos muchos elementos de$\mathbb N$). Para ver esto, considere la bola abierta$B(x,r)$. Si$r\leq 1/x$ luego $$ \begin{eqnarray}y\in B(x,r)&\implies& |1/x-1/y|<r\\ &\implies& 1/y>1/x\text{ or }1/y>1/x-r\\ &\implies& y<x\text{ or } y<\frac{1}{1/x-r} \end {eqnarray} $$, entonces hay un número finito$y$% en$B(x,r)$, mientras que si$r> 1/x$ luego $$ \begin{eqnarray}y>x &\implies& |1/x-1/y|<1/x<r\\ &\implies& y\in B(x,r) \end {eqnarray} $$ por lo tanto, todos, pero finitamente, muchos$y$ están en$B(x,r)$. De hecho, es posible que una bola abierta sea de$\mathbb N$%, como$B(x,1)$ para cualquier$x\in \mathbb N$.