Nociones generalizadas de mezcla

Question

Un subconjunto $S$ real de un espacio vectorial es convexo si es cerrado bajo finito de mezclas: para cualquier $\lambda_1,\ldots,\lambda_n>0$ tal que $\lambda_1+\cdots+\lambda_n=1$ y cualquier $x_1,\ldots,x_n\in S$, $\lambda_1x_1+\cdots+\lambda_nx_n\in S$. En una normativa espacio, podemos generalizar y hablar contables de mezclas, que se define de la manera obvia. Sospecho que con aún más la estructura, podemos definir aún más las nociones generales de la mezcla (el uso de algún tipo de integración, tal vez). Pero, ¿cómo ir? Hay ejemplos de conjuntos cerrados bajo contables de las mezclas, pero no arbitraria de las mezclas?

Si le ayuda, lo que más me interesa es las mezclas de probabilidad de las medidas y las mezclas de finitely-aditivo probabilidad de medidas.

Answer 1

Podemos definir una mezcla de probabilidad de medir de la siguiente manera. Asumir todo lo necesario para hacer lo siguiente sentido. Deje $\{P_\mu (\cdot): \mu \in \mathcal M\}$ ser una familia de distribuciones y $Q(\cdot)$ una distribución de probabilidad en $\mathcal M$. A continuación, podemos mezclar $\mu$ haciendo $P(A) = \int P_\mu (A) \ Q(d\mu)$.

Para un ejemplo concreto, podemos escribir muchas distribuciones simétricas como una "escala de la mezcla de normales" considerando un $N(0, \sigma^2)$ distribución y poniendo una adecuada distribución en $\sigma^2$, incluyendo la de Laplace y $t_\nu$ distribuciones (ver, por ejemplo, Andrews y Mallows 1974). Este tipo de truco se utiliza muy a menudo en los esquemas de muestreo de Gibbs desde retratar las cosas como las mezclas de normal nos permite explotar su conjugacy propiedades. En particular, poniendo una inversa de la distribución gamma en $\sigma^2$ debe resultar en algún tipo de $t$ distribución.