Permita que$V$ sea un espacio vectorial real. Hay 2 definiciones de$V \otimes V$. Uno es el conjunto de todos los mapas multilineales$L(V^*,V^*,R)$, y el otro es el grupo qutionet$G/H$, donde$G$ es un grupo abelian libre generado por$V \times V$ y$H$ es su subgrupo generado por elementos de tipo$(xr,y)-(x,ry)$,$(x+y,z)-(x,z)-(y,z)$ y$(x,y+z)-(x,y)-(x,z)$. La primera definición se usa en geometría, mientras que la segunda en la teoría de módulos. ¿Están estas dos definiciones relacionadas de alguna manera, o el signo$\bigotimes$ es una mera coincidencia?
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JimN
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Son la misma. El hecho de que usted desea utilizar para mostrar esto es que si $f$ es un bilineal mapa de$V \times V$$R$, luego se extiende a un mapa en el grupo $G$, y se desvanece en todos los elementos de a $H$, por lo que se induce un lineal mapa sobre el producto tensor $V \otimes V$.
Sabiendo esto, queremos que la lineal mapas de $L(V \otimes V, R)$ corresponden a la bilineal mapas de $L(V, V, R)$. Esto es cierto ya que $(V \otimes V)^* = L(V, V, R)$, lo $V \otimes V = (V \otimes V)^{**} = L(L(V, V, R), R) = L(V^*, V^*, R)$.
Lo que está pasando en la última línea es, básicamente, demostrando que $V^* \otimes V^* = (V \otimes V)^*$. No es difícil ver. Básicamente, el uso que lineal de mapas en el tensor de producto bilineal de mapas en el producto, y una bilineal mapa con un elemento fijo es lineal. Quieres un funcional lineal en el espacio de bilineal mapas, que, desde la fijación de un elemento en una ranura que hace un bilineal mapa lineal, es equivalente a una bilineal mapa lineal funcionales.
stankovski
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Estas definiciones coinciden si $V$ es de un número finito de dimensiones de espacio vectorial. Si denotamos por a $V\otimes V$ el producto tensor mediante el cociente de la construcción, entonces usted puede construir un isomorfismo $\Phi\colon V\otimes V\rightarrow L(V^*,V^*,\mathbb R)$ como sigue:
El natural de mapa de $V\times V\rightarrow L(V^*,V^*,\mathbb R),\; (v,w) \mapsto [(\varphi,\psi)\mapsto \varphi(v)\cdot \psi(w)]$ es bilineal y por lo tanto induce una lineal mapa $$\Phi\colon V\otimes V\longrightarrow L(V^*,V^*,\mathbb R),\quad v\otimes w\longmapsto [\Phi(v\otimes w)\colon (\varphi,\psi)\mapsto \varphi(v)\cdot \psi(w)].$$ Si $V$ $n$- dimensional, usted puede construir una relación inversa: Vamos a $v_1,\dotsc,v_n$ ser una base en la $V$ $\varphi_1,\dotsc,\varphi_n$ su base dual en $V^*$. Para cada una de las $v\in V$ tenemos $v = \sum_{i=1}^n\varphi_i(v)\cdot v_i$, y para cada una de las $\varphi\in V^*$ tenemos $\varphi = \sum_{i=1}^n\varphi(v_i)\cdot \varphi_i$. Ahora, considere el lineal mapa $$\Psi\colon L(V^*,V^*,\mathbb R)\longmapsto V\otimes V,\quad b\longmapsto \sum_{i,j=1}^nb(\varphi_i,\varphi_j)\cdot v_i\otimes v_j.$$ Un breve cálculo muestra que $\Phi$ $\Psi$ son inversos el uno al otro: Para $v,w\in V$ hemos $$\begin{align*} \Psi\bigl(\Phi(v\otimes w)\bigr) &= \sum_{i,j=1}^n \varphi_i(v)\cdot \varphi_j(w)\cdot v_i\otimes v_j\\ &= \left(\sum_{i=1}^n\varphi_i(v)\cdot v_i\right)\otimes \left(\sum_{j=1}^n \varphi_j(w)\cdot v_j\right)\\ &= v\otimes w\\ &= \operatorname{id}_{V\otimes V}(v\otimes w) \end{align*}$$ Por el contrario, para cada una de las $b\in L(V^*,V^*,\mathbb R)$ $\varphi,\psi\in V^*$ hemos $$\begin{align*} \Phi\bigl(\Psi(b)\bigr)(\varphi,\psi)&= \sum_{i,j=1}^n b(\varphi_i,\varphi_j) \cdot\Phi(v_i\otimes v_j)(\varphi,\psi)\\ &= \sum_{i,j=1}^n b(\varphi_i,\varphi_j)\cdot \varphi(v_i)\cdot \psi(v_j)\\ &= b\left(\sum_{i=1}^n\varphi(v_i)\cdot \varphi_i, \sum_{j=1}^n \psi(v_j)\cdot \varphi_j\right)\\ &= b(\varphi,\psi)\\ &= \operatorname{id}_{L(V^*,V^*,\mathbb R)}(b)(\varphi,\psi). \end{align*}$$
