Cómo extraer raíces en un anillo local completo utilizando series binomiales

Question

Permita que$A$ sea un anillo local con el ideal máximo$m$ que sea$m$ - completado de manera aditiva, y suponga$1/2 \in A^\times$. He leído en varios lugares que para cualquier$x \in m$, la serie binomial da una raíz cuadrada de$1 + x$ en$A$

$$ \ sum_ {n = 0} ^ \ infty {{1/2} \ choose n} x ^ n, $$ donde${{1/2} \choose n} = \frac{(1/2)(1/2 - 1) \cdots (1/2 - n + 1)}{n!}$. No entiendo por qué estos coeficientes binomiales tienen sentido en$A$. Tenemos$n!$ en el denominador, entonces ¿por qué es$n! \in A^\times$?

Answer 1

Como KCd observaciones:

Una proporción en $A$ no requiere que el denominador tiene que ser una unidad. Por ejemplo, $15/5$ es un número entero aunque $5$ no es una unidad en los enteros. O, para dar un ejemplo con un anillo local, $15/5$ $\Bbb Z_5$ ($5$- ádico enteros) aunque $5$ no es una unidad en $\Bbb Z_5$. El punto es que el número racional $1/2 \choose n$ en forma reducida tiene un denominador es una potencia de $2$, así que tiene sentido en $A$. Ver esta pregunta para obtener más detalles.