Dejemos que $A$ , $G$ y $H$ denotan las medias aritméticas, geométricas y armónicas de un conjunto de $n$ valores. Es bien sabido que $A$ , $G$ y $H$ satisfacer $$ A \ge G \ge H$$ independientemente del valor $n$ . Además, para $n=2$ tenemos $$G^2 = AH$$ Casualmente he encontrado el siguiente resultado para $n=3$ que no había visto antes: $$ A^2H \ge G^3 \ge AH^2,\qquad n=3$$ He buscado para encontrar desigualdades más generales como esta para otros valores de $n$ pero no pude encontrar ninguno. ¿Hay resultados similares para el caso general, es decir, arbitrario $n$ ? Se agradece cualquier indicación.
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thomashennecke
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Edición: Acabo de encontrar la respuesta de Macavity
math.stackexchange.com/a/805172/204426
a la pregunta
math.stackexchange.com/q/803960/204426
utiliza el desarrollo de abajo, precediéndome, siento habérmelo perdido antes. Como he encontrado la construcción en un contexto diferente y la he escrito de todas formas ahora, dejo esta respuesta aquí por comodidad:
Hay una generalización de su desigualdad a la arbitrariedad $n$ . Se deriva combinando una generalización elemental de las potencias medias habituales, con las conocidas desigualdades de Newton/Maclaurin, que se encuentran por ejemplo en la sección 2.22 de un texto clásico de Hardy, Littlewood y Polya, "Inequalities", reeditado en la serie Cambridge Mathematical Library.
Dado $n$ $positive$ números $a_n$ su media geométrica $M_0$ se define por
$$ M_0 (a_j) \ := \ \sqrt[n]{\prod^n_{j=1} \, a_j} \, , $$
mientras que su media de potencia de exponente $r \, \neq \, 0$ se define como
$$ M_r (a_j) \ := \ \left( \frac{1}{n} \sum^n_{j=1} \, a_j^r \right)^{1/r} \, , $$
para que en su notación $M_1(a_j) \, = \, A,$ $M_{-1}(a_j) \, = \, H$ . Generalicemos esto formando los medios del exponente $r$ de todos los productos distintos que obtenemos al elegir $k$ distinto $a_j$ de nuestro conjunto. Abusando un poco de la notación, escribimos $m \, \in \, S_k$ para cada una de estas posibilidades y los índices correspondientes, lo que no debería causar confusión. Para $r \, = \, 0$ que tenemos:
$$ M_{0,k} (a_j) \ := \ \sqrt[{n \choose k}]{\prod_{m \in S_k} \, a_m} \, , $$
mientras que para $r \, \neq \, 0$ tenemos
$$ M_{r,k} (a_j) \ := \ \left( \frac{1}{{n \choose k}} \sum_{m \in S_k} \, \prod \, a_m^r \right)^{1/r} \, , $$
por lo que obtenemos $G \, = \, M_{0,1}(a_j)$ , $A \, = \, M_{1}(a_j) \, = \, M_{1,1}(a_j)$ , $A \, = \, M_{-1}(a_j) \, = \, M_{-1,1}(a_j).$
Ejemplo: $$ M_{5,2} (a_1, a_2, a_3) \ = \ \left( \frac{1}{{3 \choose 2}} \left( a_1^5a_2^5 \, + \, a_1^5a_3^5 \, + \, a_2^5a_3^5 \right) \right)^{1/5} $$
La identidad
$$M_{0,k}(a_j) \ = \ ( M_{0,1}(a_j))^k $$
para $k \, \in \, \{1, \ldots,n \}$ se verifica entonces utilizando la identidad apropiada para los coeficientes binomiales. El punto destacado de considerar estas generalizaciones es entonces, que podemos generalizar la identidad $G^2 \, = \, AH$ para dos números a
$$ ( M_{0,1}(a_j))^n \ = \ M_{r,k}(a_j) \, \cdot \, M_{-r,n-k}(a_j) \, ,$$
donde
$$ ( M_{0,1}(a_j))^{n} \ = \ M_{r,n/2}(a_j) \, \cdot \, M_{-r,n/2}(a_j) \, ,$$
válido incluso para $n$ es sólo la generalización más simétrica de $G^2 \, = \, AH.$
La identidad
$$ ( M_{0,1}(a_j))^n \ = \ M_{r,k}(a_j) \, \cdot \, M_{-r,n-k}(a_j) \, ,$$
se demuestra simplemente con la factorización de $( M_{0,1}(a_j))^n$ de $M_{r,k}(a_j).$
Este es el punto en el que se aplican las desigualdades de Newton, que dicen
$$ \left( M_{1,1}(a_j) \right)^k \ \geq \ M_{1,k}(a_j) $$
para $k \, \in \, \{1, \ldots,n \}$ en nuestra notación y la igualdad se alcanza si y sólo si todos $a_j$ son iguales. Aplicando el caso especial $k \, = \, n-1$ a
$$ M_{1,n-1}(a_j) \, \cdot \, M_{-1,1}(a_j)) \ = \ ( M_{0,1}(a_j))^n \, ,$$
da inmediatamente una generalización de su desigualdad de la izquierda. Para la desigualdad de la derecha observamos
$$ M_{-1,k} (a_j) \ = \ \frac{1}{ M_{1,k}(1/a_j)} \, , $$
que se deduce directamente de la definición de $k \, \in \, \{1, \ldots,n \}$ . Por la desigualdad de Newton para $k \, = \, n-1$ aplicado al conjunto de $1/a_j$ , $j \, \in \, \{1, \ldots,n \}$ tenemos
$$ \frac{1}{M_{1,n-1}(1/a_j)} \ \geq \ \frac{1}{\left( M_{1,1}(1/a_j) \right)^{n-1}} \, , $$
al que aplicamos
$$ M_{-1,1} (a_j) \ = \ \frac{1}{ M_{1,1}(1/a_j)} \, , $$
para obtener
$$ M_{-1,n-1}(a_j) \ \geq \ \left( M_{-1,1}(a_j) \right)^{n-1} \, , $$
de la que se desprende la generalización de su desigualdad de derecho por una aplicación a
$$ ( M_{0,1}(a_j))^n \ = \ M_{1,1}(a_j) \, \cdot \, M_{-1,n-1}(a_j)) \, .$$
Algunos comentarios:
Obtenemos
$$ M_{-1,k}(a_j) \ \geq \ \left( M_{-1,1}(a_j) \right)^{k} $$
para $k \, \in \, \{1, \ldots,n \}$ análogamente al caso especial $k \, = \, n-1.$
Se pueden escribir otras generalizaciones de sus desigualdades aplicando los otros casos de desigualdades de Newton a la ecuación
$$ ( M_{0,1}(a_j))^n \ = \ M_{\pm 1,k}(a_j) \, \cdot \, M_{\mp 1,n-k}(a_j) $$
para los índices correspondientes. Debería haber generalizaciones sencillas para otros valores de $r$ también.
Esta forma de considerar los medios de poder es realmente muy natural y estoy buscando una referencia a la literatura para ello.
Chris White
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