Probabilidad: Personas sentadas en una fila (orden lineal)

Question

Pregunta: Diez personas están sentadas al azar en una fila. ¿Cuál es la probabilidad de que una pareja en particular se siente junta? Mi intento: 9! 2!/ 10! = $\dfrac{1}{5}$ , ya que hay 9! formas de sentarse en parejas y 2! formas de organizar una pareja.

La solución que me dieron es $\dfrac{1}{63}$.

¿Alguien puede señalar qué estoy haciendo mal?

Answer 1

No estás haciendo nada mal, suponiendo que tu razonamiento es similar al de Alex Becker en su comentario: la respuesta correcta es de hecho $\frac15$. Aquí hay otra forma de llegar a ella.

Hay $\binom{10}2=45$ pares de asientos, y la pareja tiene la misma probabilidad de ocupar cualquiera de esos $45$ pares de asientos. Nueve de los $45$ pares son adyacentes, por lo que la probabilidad de que ocupen asientos adyacentes es $\frac9{45}=\frac15$, como dices.

Y aquí hay otra más. El hombre se sienta en un asiento en un extremo con probabilidad $\frac2{10}=\frac15$. Si está en un asiento en un extremo, solo uno de los nueve asientos restantes es adyacente a él, y la probabilidad de que su esposa obtenga ese asiento es $\frac19$. Con probabilidad $\frac45$ el hombre se sienta en uno de los ocho asientos que tienen dos vecinos, y en ese caso la probabilidad de que su esposa termine al lado de él es $\frac29$. Por lo tanto, la probabilidad total de que terminen sentados juntos es

$$\frac15\cdot\frac19+\frac45\cdot\frac29=\frac9{45}=\frac15\;.$$

Añadido: Y solo por diversión, aquí hay otra más. Imagina que los asientos están dispuestos en un círculo alrededor de una mesa. Donde sea que se siente la esposa, la probabilidad de que el esposo se siente junto a ella es $\frac29$. Luego la mesa es quitada y los asientos se despliegan en una línea recta, con el punto de quiebre elegido al azar: con probabilidad $\frac1{10}$ caerá entre el esposo y la esposa, por lo que con probabilidad $\frac9{10}$ todavía terminarán juntos. Así que, terminan juntos con una probabilidad de $$\frac9{10}\cdot\frac29=\frac15\;.$$

Answer 2

Su respuesta es correcta. Lo que desea hacer es contar el número de arreglos en los que la pareja está sentada junto, y dividir esto por el número total de arreglos. En este caso, podemos tratar el hecho de sentar a 10 personas en un banco con la pareja sentada junto como simplemente poner a 9 personas en el banco, poniendo a la segunda persona de la pareja a la derecha de la primera persona de la pareja, y luego posiblemente reorganizando a las dos personas de la pareja. Por lo tanto, hay 9!2! maneras. Dado que hay 10! maneras de sentar a 10 personas, la respuesta es 1/5.

Como una comprobación de cordura, aquí hay otra derivación. Nos centramos solo en las dos personas de la pareja. Hay una probabilidad de $8/10$ de que la primera persona no esté en ninguno de los extremos, y dado esto, hay una probabilidad de $2/9$ de que la segunda persona esté junto a ellos. Hay una probabilidad de $2/10$ de que la primera persona esté en uno de los extremos, y dado esto, hay una probabilidad de $1/9$ de que la segunda persona esté junto a ellos. Dado que estas opciones son mutuamente excluyentes, la probabilidad general es $$\frac{8}{10}\frac{2}{9}+\frac{2}{10}\frac{1}{9}=\frac{18}{90}=\frac{1}{5}$$

Answer 3

Tienes razón.

¡El número de pares que puedes hacer es de hecho $10 !$, y para obtener el número de combinaciones en las que puedes organizar el par deseado es como sigue:

Tomemos ${a,b,c,d,e,f,g,h}$ como las 8 personas no importantes y ${i,j}= {``Ícaro", ``Jessica"}$ el par deseado.

Ahora podemos ver el problema como un problema de formación de palabras. Queremos una palabra de 10 caracteres que contenga $`ij"$ juntos. Luego multiplicamos por dos para considerar el caso $``ji"$. Así que el truco es notar PRIMERO cuántas palabras de 8 letras podemos hacer $= 8!$

Procedemos a insertar el $``ij"$ en la palabra formada: nota los 9 espacios entre cada letra donde podemos insertarlo (recuerda contar el principio y el final). Esto es $ \binom {9} {1}$

Poniéndolo todo junto, tenemos $P[``ij" juntos]=\frac{2* 9* 8!}{10!}$ lo cual es igual a $1/5$

Probablemente un error tipográfico o un error del libro/tarea.

Answer 4

Expandiendo la idea de Brian Scott para el caso general, puedes terminar con una fórmula muy útil y fácil, dada una fila de $n$ sillas:

$$ \text{Número de pares de asientos} = {n \choose{2}} = \frac{n!}{(n-2)! 2!} = \frac{n(n-1)}{2} $$ $$ \text{Número de pares contiguos de asientos} = n-1 $$ Por lo tanto, $$ P(\text{Escoger pares contiguos entre n asientos}) = \frac{n-1}{\frac{n(n-1)}{2}} = \frac{2}{n} $$ Entonces, en tu caso específico, $$ P(\text{Escoger pares contiguos entre 10 asientos}) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $$

Answer 5

Hay $10!$ formas de poner a estas $10$ personas en la fila, la pareja puede sentarse de la siguiente manera $12$, $23$, $34$, $45$, $56$, $67$, $78$, $89$, $10 \ 1$ o $21$, $32$, $43$, $54$, $65$, $76$, $87$, $98$, $1\ 10$ lo que da $20$ posibilidades, pero hay otras $8$ personas, hay $8!$ posibilidades de sentarlas, por lo que la probabilidad es

$$P = 20 \cdot \frac{8!}{10!} = \frac{2}{9} = 22.2\%$$