¿Necesita matemáticas finitas el axioma del infinito?

Question

Una expresión que se refiere a un conjunto infinito a veces puede ser lógicamente se reformula el uso de sólo finita de conjuntos de objetos. Por ejemplo, "El conjunto de números primos es infinita" <-> "no Hay mayor prime". Gratamente, la prueba de esta afirmación no parece que necesite infinito (asumir un mayor prime, contradicción).

¿Qué razón hay, aparte de la comodidad o de la curiosidad, para anexar los conjuntos infinitos de nuestro universo por axiomáticamente declarar que existe?

Específicamente:

¿Qué es un ejemplo de un teorema de ZF o ZFC que 1) no se refiere a conjuntos infinitos, pero 2) No puede ser probada si el Axioma de Infinitud es excluido?

(Ver Zermelo–Fraenkel de la teoría de conjuntos para el Axioma de Infinitud en un contexto).

Answer 1

ZF - infinito a + infinito no es bi-interpretables con la Aritmética de Peano. Bi-interpretables significa que un modelo de bien uno puede ver un subconjunto de sí mismo como un modelo de los otros (todos en un definibles por el camino). Así ZF - infinito no puede probar nada de lo que PA no probaría.

Hay algunos bastante natural, declaraciones que son independientes de la PA, pero comprobable en ZF. En realidad, no son demostrables en las teorías mucho más débiles que en ZF. La primera convincente ejemplo fue el de París-Harrington Teorema, que demostró que un cierto Ramsey-como la propiedad es independiente de la PA. Otro buen ejemplo es Goodstein Secuencias que Anton mencionado.

Answer 2

Tenga en cuenta que esta pregunta es parte del programa de Hilbert. (http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_program)

La primera parte es formalizar las matemáticas. Algunos argumentan que el desarrollo de ZFC, junto con el trabajo de Russell/Whitehead y Bourbaki y los demás se ha hecho esto, o al menos muestra que es posible.

La segunda parte es la de demostrar que el resultado de la axiomatization es completa. Gödel resultados muestran que esto no se puede hacer.

La tercera parte es la de mostrar (finitistically) que formaliza la matemática es consistente. Gödel resultados muestran que el estándar finitistic matemáticas (como la aritmética de Peano) ni siquiera puede demostrar que es coherente, y mucho menos el total formalizado matemáticas, pero, por supuesto, no se descarta la posibilidad de finitistic, como los sistemas de PA+Con(ZFC). Hilbert no anticipar este tipo de resultado, porque él no se dio cuenta de que cada teoría, incluso de finitistic matemáticas sería incompleta.

La cuarta parte es lo que pedimos aquí, para mostrar que el pleno formalizado matemáticas es conservador sobre el finitistic parte. Desde ZFC demuestra Con(PA), pero PA no, Gödel resultados muestran ya que esto era imposible. París-Harrington, y Goodstein de teoremas, y otros ejemplos mencionados anteriormente son buenas adiciones sólo porque demuestran que relativamente sencillo declaraciones son independientes. (Todos los tres de estos resultados son sólo declaraciones de que cada número natural tiene alguna propiedad en particular, a pesar de que la propiedad utilizada en Con(PA) es la propiedad de no ser la Gödel código de una prueba de una contradicción a partir de los axiomas de la PA, que es más complicado de lo que las propiedades que se utilizan en el resto).

La quinta parte de programa de Hilbert era dar a un procedimiento de decisión para todos los enunciados matemáticos. Por supuesto, esto es mucho más ambicioso aún que el 10 de problema y varios otros problemas que se han vuelto a ser imposible. Pero, de nuevo, de Gödel resultados mostraron ya que esta parte ha sido condenado, porque cualquier decisión que el procedimiento podría ser utilizado para generar un completo axiomatization de las matemáticas.

Answer 3

Esto puede estar fuera de base, pero tal vez este es el tipo de cosa que usted está buscando.

Comience con un número entero positivo, como 5, y escribirlo todo en la base 2. Es decir, escribir cada número que aparece en la base 2, por lo que 5=2²²⁰+2⁰. Ahora, cambia todos la 2 a la 3 y restar 1 a la 27. Escribir completamente en la base 3, 27=3³³⁰. El cambio de 3 a 4 y resta 1. Seguir adelante, siempre reemplazando n por (n+1), restando 1, y escribir el número "totalmente en base (n+1)".

El resultado es que no importa qué número entero positivo que empezar, que finalmente va a llegar a 0. La prueba usual es la complejidad de un argumento que utiliza ω.

Edit: este resultado es llamado el Teorema de Goodstein

Answer 4

Bueno, ciertamente, una buena razón para anexar los conjuntos infinitos de nuestro universo que son tan interesantes en su propio derecho. No estamos exclusivamente interesada en los resultados sobre conjuntos finitos!

Aún así, es cierto que hay "finitistic" declaraciones que no puede ser probado por finitistic métodos. Una forma de ver esto es sólo para aplicar Gödel del teorema de la incompletitud de una teoría, como la PA o, como usted sugiere, ZF-{axioma del infinito}. Por ejemplo, dejar que P sea la última teoría, la consistencia de P en sí es un "finito" (instrucción de la afirmación de que no hay ningún número que codifica una prueba de 1=0 en P, y "de la codificación de una prueba de 1=0" es, básicamente, un grande, desordenado, pero la expresión finita). Sin embargo, que la declaración no puede ser probada en P, mientras que puede ser probada en ZF sí mismo (mediante la exhibición de un modelo de P).

Ejemplos más concretos de tales declaraciones son del Teorema de Goodstein (aludido por Anton), La Hidra de juego, y otras declaraciones que se encuentran por Kirby, París, Harrington y Harvey Friedman.

Answer 5

"No hay ninguna más grande prime" supone implícitamente la existencia de los números naturales?