Acuerdos de $5$ $\alpha$ s, $5$ $\beta$ s y $5$ $\gamma$ s con al menos un $\beta$ y al menos una $\gamma$ entre cada dos $\alpha$ s

Question

¿Cuántos arreglos de $5$ $\alpha$ s, cinco $\beta$ s y cinco $\gamma$ s están ahí con al menos una $\beta$ y al menos una $\gamma$ entre cada par sucesivo de $\alpha$ s?

Mi intento:

caso 1: exactamente $1$ $\beta$ y $1$ $\gamma$ entre cada par de $\alpha$ s $= 96$ formas

caso 2: exactamente $1$ $\beta$ y $2$ $\gamma$ s entre cada par de $\alpha$ s $= 192$ formas

caso 3: exactamente $2$ $\beta$ y $1$ $\gamma$ entre cada par de $\alpha$ s $= 192$ formas

No sé cómo calcular el caso 4. Quiero decir que lo sé pero la respuesta no coincide.

el caso 4 sería exactamente $2$ $\beta$ s y $2$ $\gamma$ s entre cada par de $\alpha$ s.

Si alguien conoce otra solución mejor posible, por favor, facilítenosla o, si no, ayúdeme con el caso 4. Gracias.

Answer 1

Deberías describir tus casos de una manera un poco diferente (los resultados son correctos). También hay más casos.

Caso 1. Entre cada par consecutivo de $\alpha$ hay una $\beta$ y una $\gamma$

Cada par $\beta,\gamma$ puede colocarse de dos maneras: $\beta\gamma$ o $\gamma\beta$

El último $\beta$ y $\gamma$ debe colocarse "fuera" de todos los alfas - puede hacerse en $2\cdot 3=6$ formas

Por lo tanto, hay

$a_1 = 2^4\cdot 6 = 96$

maneras

Caso 2. Como en el caso anterior, pero también hay exactamente un par de alfas consecutivas con 2 betas y una gamma

$\beta,\beta,\gamma$ se pueden organizar en $\binom{3}{1}=3$ formas: $\beta\beta\gamma$ , $\beta\gamma\beta$ , $\gamma\beta\beta$

Posición de $\beta,\beta,\gamma$ se puede seleccionar en $\binom{4}{1}=4$ formas.

El último $\gamma$ puede colocarse de 2 maneras.

Así, tenemos

$a_2 = 2^3\cdot 3\cdot 4\cdot 2= 192$

Caso 3. Como arriba, pero hay exactamente un par de alfas con 2 gammas y una beta (en lugar de 2 betas y una gamma)

Los cálculos son análogos a los del caso 2, por lo que

$a_3 = a_2= 192$

Caso 4: Hay exactamente un par de alfas consecutivos con dos betas y dos gammas entre ellos

$$\beta,\beta,\gamma,\gamma$$ se pueden organizar en $\binom{4}{2}=6$ formas y pueden colocarse en $\binom{4}{1}=4$ formas

$a_4=2^3\cdot 4\cdot 6 = 192$

Caso 5: (no considerado en su solución) Hay exactamente un par de alfas consecutivas con 2 gammas y una beta y exactamente un par de alfas consecutivas con 2 betas y una gamma

$\beta,\beta,\gamma$ y $\gamma, \gamma, \beta$ puede colocarse en $4\cdot 3=12$ formas

$a_5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 12 = 432$

Answer 2

Utilizando letras romanas y haciendo que el $A's$ para simplificar, tenga en cuenta que
entre dos $A's$ , puedes tener $BC$ ( $2$ perms), $BBC/BCC$ ( $3$ perms) o $BBCC$ ( $6$ perms)

Lo básico patrones son:
$00|00|00|00|00|\to 2^5\times 2$ (para los más externos $00$ en el otro extremo) $=64$

$0|00|00|00|00|0\to 2^5 = 32$

$0|000|00|00|00|\to 3\cdot2^4\times 4\times 2$ (colocando $ 000\;$ y para los más externos $0$ en el otro extremo) $=384$

$|0000|00|00|00|\to 6\cdot2^3\times 4$ (colocando $0000$ ) $=192$

$|000|000|00|00|\to 3^2\cdot2^2\times (4\cdot3)$ (colocando los dos $000's$ ) $= 432$

Total $=64+32+384+192+432= \boxed{1104}$