¿Es un mapa linear preservar norma también aproximadamente reserva interior productos?

Question

Supongamos que tengo distribución en el mapa linear $D_{\epsilon,\delta}$ $\mathbb{R}^{d\times d}$ tal que para cualquier $0<\epsilon,\delta<1/2$ tenemos $\forall x$, $$\Pr_{A \sim D_{\epsilon,\delta}}(\lvert \lVert Ax\rVert^2- \lVert x\rVert^2\rvert>\epsilon \lVert x\rVert^2)<\delta$ $ ahora ante esto puedo decir que $A$ de $D_{\epsilon,\delta}$ también preserva producto interior en el siguiente sentido $$\Pr_{A \sim D_{\epsilon,\delta}}(\left\lvert \langle Ax_1,Ax_2\rangle-\langle x_1,x_2\rangle\right\rvert>\epsilon\lVert x_1\rVert\lVert x_2\rVert)<\delta$ $ probé usando la identidad de polarización para obtener el resultado, que después de lo que hasta ahora\begin{align*} \langle Ax_1,Ax_2\rangle&=\frac{1}{4}(\lVert A(x_1+x_2)\rVert^2-A(x_1-x_2)\rVert^2) \\ &\le\frac{1}{4}((1+\epsilon)\lVert x_1+x_2\rVert^2-(1-\epsilon)\lVert x_1+x_2\rVert^2)\\ &=\langle x_1,x_2 \rangle+\frac{\epsilon}{2}(\lVert x_1\rVert^2+\lVert x_2\rVert^2) \end{align*} ahora no soy capaz de ir más lejos como $\lVert x_1\rVert^2+\lVert x_2\rVert^2\geq 2\lVert x_1\rVert\lVert x_2\rVert$. Ayuda, comentarios, sugerencias son muy apreciadas. Gracias.

Answer 1

Han demostrado que $$|\langle Ax,Ay \rangle - \langle x,y \rangle| \leq \frac{\varepsilon}{2}(\|x\|^2+\|y\|^2) = \varepsilon,$ $ para todos vectores $x$ y $y$ $1$ de longitud. Por lo tanto, para todos los vectores de cualquier longitud: $$|\langle Ax,Ay \rangle - \langle x,y \rangle| \leq \varepsilon.\|x\|.\|y\|.$ $