Si $ \cup \bar{A_{\alpha}}$ está cerrado el $ X $ entonces $ \cup \overline {A_{\alpha}} = \overline { \cup A_{\alpha} }$

Question

Sea $ (X, \tau) $ sea un espacio topológico y $ \{A_{\alpha}: \alpha \in I \} \subset P(X)$ . Verifica o refuta lo siguiente: Si $ \cup \overline{A_{\alpha}}$ está cerrado el $ X $ entonces $ \cup \overline {A_{\alpha}} = \overline { \cup A_{\alpha} }$ .

La contención $ \cup \overline {A_{\alpha}} \subseteq \overline { \cup A_{\alpha} }$ está claro. De hecho, para esta contención, no se requiere que $ \cup \bar{A_{\alpha}}$ estar cerrado. Creo que la otra contención con la condición de que $ \cup \bar{A_{\alpha}}$ está cerrado también es cierto, pero es donde me atasco. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

$\bigcup\limits_{\alpha\in I}A_\alpha\subseteq \bigcup\limits_{\alpha\in I}\overline{A_\alpha}\subseteq \overline{\bigcup\limits_{\alpha\in I}A_\alpha}$ y $\bigcup\limits_{\alpha\in I}\overline{A_\alpha}$ está cerrado. Por lo tanto, $\bigcup\limits_{\alpha\in I}\overline{A_\alpha}=\overline{\bigcup\limits_{\alpha\in I}A_\alpha}$ por minimalidad del cierre.

Answer 2

Sea $O=X\setminus\cup\overline{A_\alpha}$ Entonces $O$ es un conjunto abierto. Si $x\in O$ entonces, para cada $\alpha$ , $O\cap A_\alpha=\emptyset$ ya que $O\cap\overline{A_\alpha}=\emptyset$ y $\overline{A_\alpha}\supset A_\alpha$ . Pero entonces $O\cap\left(\cup A_\alpha\right)=\emptyset$ y, por lo tanto, puesto que $O$ es una vecindad de $x$ , $x\notin\overline{\cup A_\alpha}$ . Por lo tanto, esto demuestra que si $x\notin\cup\overline{A_\alpha}$ entonces $x\notin\overline{\cup A_\alpha}$ .