¿El lema de pegar también es cierto en el caso de continuidad uniforme?

Question

Deje $\left(X, d_X \right)$ $\left( Y, d_Y \right)$ ser métrica espacios; deje $A$ $B$ (no vacío) de subconjuntos cerrados de $X$ tal que $X = A \cup B$; deje $f \colon A \to Y$ $g \colon B \to Y$ ser uniforme de funciones continuas tales que $f(x) = g(x)$ todos los $x \in A \cap B$; y, que la función de $h \colon X \to Y$ se define de la siguiente manera: $$ h(x) \colon= \begin{cases} f(x) \ & \mbox{ if } \ x \in A, \\ g(x) \ & \mbox{ if } \ x \in B. \end{cases} $$ A continuación, se $h$ también uniformemente continua en a $X$?

Sé que $h$ es continua, incluso si ambos $f$ $g$ eran meramente continua, que es el Teorema de 18.3 (El Pegado de Lema) en el libro de Topología por James R. Munkres, 2ª edición.

Mi Intento:

Deje $\varepsilon > 0$ ser dado. Tenemos que encontrar un número real $\delta > 0$ tal que $$ d_Y \left( h \left( x \right) , h \left( x^\prime \right) \right) < \varepsilon $$ para cada par de puntos de $x, x^\prime \in X$ para los que $$ d_X \left( x, x^\prime \right) < \delta. $$

Ahora si $x, x^\prime \in A$ o si $x, x^\prime \in B$, esto es, por supuesto, posible.

Lo que si $x \in A \setminus B$$x^\prime \in B \setminus A$?

Answer 1

El caso de $X = \mathbb{R}^n$ es cierto. Más en general, siempre que $X$ tiene la propiedad de que cada pelota es la ruta de acceso conectado, esta Pegando Lema sostiene. De hecho, dado $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que

$$x, y \in A \ \ \text{y}\ \ d(x, y) < \delta \implica que d(f(x), f(y)) < \frac{\epsilon}{2}\\ x, y \in B \ \ \text{y}\ \ d(x, y) < \delta \implica d(g(x), g(y)) < \frac{\epsilon}{2}$$

Entonces, si $x \in A$$y \in B$,$d(x, y) < \delta/2$, se puede elegir un punto de $z \in B(x; \delta/2)$ $A \cap B$ (tenga en cuenta la ruta de acceso de la conexión de $x$ $y$ dentro de la bola). Tenemos

$$d(x, z) <\delta, \quad d(z, y) < \delta$$ Por lo tanto $$d(h(x), h(y)) \leq d(f(x), f(z)) + d(g(z), g(y)) < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$

El uniforme de la continuidad de la siguiente manera.

Answer 2

No, no es cierto.

Tomar $A=\{(x,1/x) \mid x>0\} \subset \mathbb{R}^2$, $B=\{(x,0) \mid x>0)\} \subset \mathbb{R}^2,$ $X:=A \cup B$. Ambos $A,B$ están cerrados en $X$, con su intersección es vacía.

Ahora toma $f:A \to \mathbb{R}$ de $f((x,1/x))=x$ y $g:B \to \mathbb{R}$ de $g((x,0))=2x$. Son uniformemente continuas y satisfacer la hipótesis de la supuesta "pegar el lema" (coincide en la intersección). Sin embargo, $h:A \cup B \to \mathbb{R}$ no es uniformemente continua. Existen puntos arbitrariamente cerca cuando vas más a la derecha en $A$ y $B$ y tales que sus imágenes son arbitrariamente distantes.