¿cómo podemos averiguar

Question

Cómo podemos integrar $$\int\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+1}}dx$ $ probé algunas sustituciones, pero fracasé. He intentado por ejemplo %#% $ #%

Answer 1

Otra forma de evaluar la integral, sin hacer una sustitución trigonométrica o hiperbólica, es hacer la sustitución $x=1/t$.

Procedimiento revela

$$\begin{align} \int \frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}}\,dx&\overbrace{=}^{x=1/t}-\int \frac{t}{\sqrt{t^2+1}}\,dt\\\\ &=-\sqrt{1+t^2}+C\\\\ &\overbrace{=}^{t=1/x}-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}+C \end {Alinee el} $$

Y ya terminamos!

Answer 2

Toma $x=\tan t\implies \mathrm dx=\sec^2t \mathrm dt$ da la integral $ \int \frac{\cos t} \mathrm {\sin^2 t} t d $$ donde se puede tomar $u=\sin t$ hasta el final, $$ \int \frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}}\mathrm dx = \int \frac{\cos t} \mathrm {\sin^2 t} t d = \int u ^ {-2} \mathrm du\\ =-u ^ {-1} + c =-\frac {1} {\sin t} + C\\ =-\ frac {1} {\sin\arctan x} + C\\ =-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}+C $$

Answer 3

Usted puede usar $x=\sinh(t)$.

Entonces $\mathrm dx=\cosh (t) \mathrm dt$.

La integral usando la sustitución: $$ \int \frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}}\mathrm dx = \int \frac{\cosh (t)} {\sinh^2(t)\sqrt{1+\sinh^2(t)}} \mathrm d t = \int \frac{1}{\sinh^2(t)} \mathrm dt\\=-\coth(t)+C=-\coth(\sinh^{-1}(x)) + C =-\frac{\sqrt{1+x^2}} {x} + C $$