¿Abuso de notación matemática, son estos ejemplos de abuso?

Question

He visto a menudo en la notación como este:

Deje $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ ser definido por $$f(x,y)=x^2+83xy+y^7$$

¿Cómo es que esto algún sentido? Si el dominio es $\mathbb{R}^2$ $f$ debe ser la asignación individual de las tuplas. Por lo tanto, espero una representación adecuada de la función anterior sería:

$$f(t)=\pi_1(t)^2+83\pi_1(t)\pi_2(t)+\pi_2(t)^7$$

No es esto más precisa? Si el dominio es$\mathbb{R}\times \mathbb{R}=\mathbb{R}^2$$\mathbb{R}\times \mathbb{R}=\{(x,y):(x\in \mathbb{R})\land (y\in \mathbb{R})\}$, entonces cada elemento en el dominio es un dos-tupla $(x,y)$ no algunas irregular expresión compuesta de dos variables separados por una coma como "$x,y$" a la derecha?

También cuando se habla de estructuras algebraicas ¿por qué la gente constantemente el intercambio de las transportista con la estructura algebraica de sí mismo. Por ejemplo, usted podría ver a alguien escribir esto:

Dado cualquier campo $\mathbb{F}$ tomar esos elementos en nuestro campo $a\in \mathbb{F}$ que satisfacen la ecuación de $a^8=a$.

¿Cómo es que esto algún sentido? Si $\mathbb{F}$ es un campo, entonces es una tupla equipado con dos operaciones binarias y los correspondientes elementos de identidad de todos los que satisfacer una variedad de axiomas. Por lo tanto debemos tener para algunos de $S$ que $\mathbb{F}=(S,+,\times,0,1)$ por lo que sería escribir $a\in (S,+,\times,0,1)$ que es un galimatías, ellos deben escribir $a\in S$. Veo de nuevo el campo de $\mathbb{F}$ y su conjunto subyacente $S$ son invertidos, veo que esta en casi todas las áreas de álgebra abstracta con monoids, grupos, anillos, etc.

Answer 1

El ejemplo que ha dado de si una función no es un abuso. $x$ es en lugar de la abreviatura de $\pi_1(t)$ $y$ es la abreviatura de $\pi_2(t)$ $(x,y)$ es la abreviatura de $t$.

$g \in G$ es un abuso de menores, sí. "Un grupo de $G$ es un conjunto $G$ dotado de algunas operaciones" es un ligero abuso, pero que nunca va a ser mal interpretado. Se hace de esta manera para evitar la proliferación innecesaria y confusa símbolos. Por la misma razón, utilizamos el símbolo $+$ a se refieren a los tres diferentes operaciones de suma de números enteros, racionales y reales.

Answer 2

Supongamos que en los dos casos que hemos citado, el de toda la comunidad matemática fueron a un acuerdo durante la noche para cambiar de notación. ¿Qué íbamos a ganar, además de la petulante satisfacción de pedante? La nueva notación no sería más eficaz en la comunicación de las ideas; de hecho, si de algo va a servir para distraer la atención de ellos y hacer una mayor barrera a la entrada cuando alguien está tratando de aprender el material por primera vez.

Yo diría que la notación debe ser juzgado por tres normas: (1) su claridad, (2) su rigor, y (3) si de alguna manera se invita al lector a hacer un error. En el sistema métrico (1), que yo prefiera la actual "abusos" de notación, especialmente al considerar esto desde la perspectiva de alguien que ya no lo entiendo. En el sistema métrico (2), supongo que se podría dar un pequeño borde de las alternativas que propones... pero en realidad no. Si, por ejemplo, que estaban tratando de codificar estos conceptos en un lenguaje de programación, sería trivial para completar los detalles de la existente en la notación. Y (3) es un lavado; no hay ninguna oportunidad significativa para el error creado por la notación en cualquiera de los casos.

En resumen: la Notación es puramente una construcción, y a la adoración en el altar de la dedicación en el costo de la claridad (y brevedad, que es un legítimo faceta de la claridad) es equivocada.

EDIT: me temo que esto puede haber sido más de una perorata de que una respuesta a la pregunta. Así que, para estar seguro de que es tanto: no, estos ejemplos no debe ser considerado como un abuso de notación. Más bien, son útiles e inofensivos convenios, como todos los buenos notación es.

EDICIÓN #2: Después de reflexionar sobre GitGud comentario, yo creo que tienen razón, es difícil para mí decir con una cara seria que (en particular en el segundo ejemplo, en el post original) no es un abuso de notación. Realmente, Patrick Stevens ya dio la mejor respuesta a la pregunta original, y me alegro de que haya sido upvoted tantas veces como lo ha hecho. Sin embargo, estos abusos de la notación debe, en todo caso, se considerarán como (1) muy leve abusos, y (2) útil, quizás incluso importantes, convenciones.

Answer 3

Una función de $f:\>X\to Y$ toma elementos $x\in X$ como entrada y produce para cada una de las $x$ un valor de salida $y\in Y$. En la medida en que una función está "unario".

Ahora lo que ocurre es que en muchos casos el dominio $X$ es un producto cartesiano $X=R^n$, de tal manera que necesitamos $n$ piezas de $R$-datos para especificar un único punto de $x\in X$, es decir, podemos escribir la $x=(x_1,x_2,\ldots, x_n)$. El valor de la función $f(x)$, por lo que debe considerarse como $f((x_1,x_2,\ldots, x_n))$, pero en la práctica diaria se despoja de un conjunto de paréntesis fuera. Tenga en cuenta que en el lenguaje Mathematica uno escribe $f\bigl[\{x_1,\ldots, x_n\}\bigr]$.

Tenga en cuenta que en muchos casos un "multivariable" la función depende de la $x$ no en una "nebulosa". En lugar de esta dependencia es claramente estructurado a lo largo de la factorización de $X$$f(x,y,z):=(x^2+y^2)e^z$. Las "variables" $x$, $y$, $z$ luego de obtener su propia personalidad y no son sólo herramientas para abordar el dominio deseado punto de ${\bf p}$.

Por desgracia, nadie me podía decir en todos esos años lo que es una "variable" en el análisis.

Answer 4

Si vamos a jugar el juego como usted desea, su escritura tiene graves problemas. Para empezar, $\mathbb R$ es un conjunto, pero entonces usted está usando este símbolo $+$ que no se ha definido. Usted también tiene el símbolo de $83xy$, que no está claro lo que significa. Parece que están abusando de la notación y escritura de la multiplicación de números reales (que usted nunca dijo que estaba utilizando) por yuxtaposición; por lo tanto, es la expresión de la $83xy$ igual a $8\times3\times x\times y$? Tal vez no, pero en caso de que usted está dando a dos significados diferentes a la yuxtaposición de los números reales, sin decirlo.

También, usted tiene los símbolos de la $\pi_1,\pi_2$ que no se ha definido. Se ve por su notación que se trata de funciones, pero en ese caso se debe expresar el dominio, el codominio y el estado.

Answer 5

Que invertir la pregunta.

Una función $f(x,y)=x+y$, ¿cuál es su dominio?

Mayoría de la gente diría $\mathbb R^2$. ¿Qué le dirías?