Cómo probar el % de la suma de Fibonacci $\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{F_n}{p^n} = \frac{p}{p^2-p-1}$

Question

Estamos familiarizados con lo ingenioso que el % de la serie de Fibonacci $F_n = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,\dots$y $0.0112358\dots\approx 1/89$. En realidad

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{F_n}{10^n} = \frac{10}{89}$$

Cómo se demuestra que, más generalmente, $p > 1$

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{F_n}{p^n} = \frac{p}{p^2-p-1}$$

(El anterior fue el caso $p = 10$.)

Answer 1

Se puede utilizar la fórmula de Binet, $$F_n=\frac{\phi^n-(-\phi)^{-n}}{\sqrt 5}$ $ junto con la fórmula habitual de serie geométrica para probar su reclamo:

$$\begin{align*}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{F_n}{p^n}&=\frac1{\sqrt 5}\left(\frac1{1-\phi/p}-\frac1{1+(p\phi)^{-1}}\right)\\&=\frac{p(\phi^2+1)/(\sqrt 5)}{(p-\phi)(p\phi +1)}\\&=\frac{p\phi}{\phi p^2-(\phi^2-1)p-\phi}\\&=\frac{p\phi}{\phi p^2-\phi p-\phi}\\&=\frac{p}{p^2-p-1}\end{align*}$$

Answer 2

Que $f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty F_nz^n$

Entonces $$ \begin{align}zf(z) + z^2f(z) &= \sum_{n=1}^\infty {F_{n-1}z^n} + \sum_{n=2}^\infty F_{n-2}z^n\\ &=F_0z + \sum_{n=2}^\infty (F_{n-2}+F_{n-1})z^n \\&=F_0z + (f(z)-F_0 - F_1z) \end{Alinee el} $$

Usando el $F_0=0, F_1=1$, podemos solucionar para $f(z)$:

$$f(z)=\frac{z}{1-z-z^2}$$

Ahora sustituye $z=\dfrac{1}p$.

[Nota, esto no prueba que la serie converge, sólo que, si la serie converge, converge a este valor. Podrían requerir un poco más de esfuerzo para demostrar que converge para $z=\dfrac{1}{p}$.]

Answer 3

Voy a copiar aquí una respuesta, que he publicado antes en AoPS. Sin embargo, la solución del artículo de wikipedia (ver el enlace en lhf del comentario de J. M. de la respuesta) parece ser mucho más elegante. Básicamente estos matriz de pruebas a menudo puede ser reescrito para las pruebas usando funciones de generación.

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Denotamos por a $F_i$ el i-ésimo número de Fibonacci.

Usando la fórmula de $$\sum_{i=0}^n F_i k^i = \frac{(k-1)k^{n+1}F_{n+1}-k^{n+2}F_{n+2}+k}{1-k-k^2} \qquad (*)$$ usted obtener para $k<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ utilizando la fórmula de Binet mencionado por mavropnevma que $$\sum_{i=0}^\infty F_i k^i = \lim_{n\to\infty} \frac{(k-1)k^{n+1}F_{n+1}-k^{n+2}F_{n+2}+k}{1-k-k^2} = \frac k{1-k-k^2}.$$ En su caso $k=1/10$ y este límite es igual a 10/89.

La fórmula anterior (*) puede ser derivada por inducción.

Inductivo paso:

$\frac{(k-1)k^{n+1}F_{n+1}-k^{n+2}F_{n+2}+k}{1-k-k^2}+k^{n+1}F_{n+1}= \frac{-k^{n+3}F_{n+1}-k^{n+2}F_{n+2}+k}{1-k-k^2}=$ $\frac{-k^{n+3}(F_{n+3}-F_{n+2})-k^{n+2}F_{n+2}+k}{1-k-k^2}= \frac{(k-1)k^{n+2}F_{n+2}-k^{n+3}F_{n+3}+k}{1-k-k^2}$

Sin embargo, mi método (que me llevan a "descubrir" la fórmula, por lo cual quiero decir que yo no sabía el valor de la suma por adelantado) estaba utilizando el método de la matriz.

Para $A=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ we have $^n= \begin{pmatrix} F_{n-1} & F_n\\ F_n & F_{n+1} \end{pmatrix} $.

De $$\sum_{k=0}^n (Ak)^i = (A^{n+1}k^{n+1}-I)(Ak-I)^{-1}$$ usando $(Ak-I)^{-1}=\begin{pmatrix}-1&k\\k&k-1\end{pmatrix}^{-1}= \frac1{1-k-k^2}\begin{pmatrix} k-1& -k \\ -k & -1 \end{pmatrix}$ y $A^{n+1}k^{n+1}-I=\begin{pmatrix} k^{n+1}F_n-1 & k^{n+1}F_{n+1}\\ k^{n+1}F_{n+1} & k^{n+1}F_{n+2}-1 \end{pmatrix}$ por la multiplicación de la matriz obtenemos el resultado deseado.

EDITAR: Me he dado cuenta de que esta suma se menciona en el artículo de wikipedia sobre los números de Fibonacci Se refieren a esta página - prueba (utilizando matrices) es siempre allí.