Al aprender matemáticas, ¿hay que demostrar todo lo que se aprende?

Question

Hace aproximadamente un año asistí a una clase de análisis real y en unos dos días cubrimos parcialmente la construcción de los números reales como clases de equivalencia de las secuencias de Cauchy. A través del profesor no lo hizo, me tomó alrededor de $9$ horas para leer y luego escribir toda la construcción de manera que la entendiera, empezando por $\mathbb{N}$ . La mayor parte del proceso consistió en una laboriosa verificación de manipulaciones algebraicas y en la comprobación de que ciertas cosas eran satisfactorias. A pesar de hacer todo eso, no creo que haya ganado ninguna idea particularmente nueva, sólo fue mucho trabajo.

¿En qué momento no se debe verificar algo? ¿Qué pasa si ves que hay una prueba de ello, y ves que todo lo que la prueba requiere es verificar una gran cantidad de manipulaciones algebraicas? En este caso, incluso si vas y compruebas la prueba, puedes estar seguro de que manipular expresiones algebraicas no te enseñará nada nuevo. Entonces, ¿para qué molestarse? ¿Dónde está el límite entre "debería leer una demostración de esto" y "no hay nada que ganar aquí"?

Answer 1

Piensas que no has obtenido ninguna novedad en particular. Esto es probablemente cierto para el presente, pero no para el futuro. Cuando te enteres de la terminación de un espacio métrico utilizando las secuencias de Cauchy, simplemente ya conocerás la construcción. Y si se sigue estudiando la terminación de una espacio uniforme utilizando Filtros de Cauchy te gustará ver que se trata de una versión abstracta de la construcción en la que has invertido 9 horas.

Conclusión: . La respuesta a tu pregunta depende en gran medida de tus objetivos. Si sólo quieres aprobar un examen y luego olvidarte de las matemáticas, probablemente no necesites preocuparte por ninguna prueba. Ahora bien, si quieres convertirte en matemático, profundizar es una buena idea a largo plazo.

Answer 2

Saber cuándo hay que seguir todos los pasos con detalle pertenece a esa misteriosa cualidad llamada madurez matemática .

No parece que su instructor le exigiera que escribiera todos los detalles; simplemente sintió la necesidad, pero lamentó el tiempo invertido después. ¿Es esto cierto?

A veces, un libro o un artículo alertan al lector, por ejemplo, "después de dos páginas de cálculos poco esclarecedores, encontramos..." Otras veces tendrá que hacer su propia llamada.

Tal vez, después de comprobar la ley conmutativa de la suma para los números reales (definida a través de las secuencias de Cauchy), te hayas dicho: "Vale, pues lo mismo va a pasar con las demás leyes algebraicas: ley asociativa de la suma, leyes conmutativa y asociativa de la multiplicación, etc.". Tu instinto habría sido correcto.

Por otro lado, el buen instinto probablemente te diría: "Tengo que ver cómo la completitud de los reales se sigue de la construcción". También el hecho de que las operaciones están bien definidas, es decir, no dependen de la elección de los representantes. (Pero basta con comprobar una operación).

Dos reflexiones más.

En su día, matemáticos como Euler y Gauss hicieron resmas de cálculos. Te preguntarás: "¿Cómo se les ocurrió ese teorema?". Parte de la respuesta parece ser que elaboraron montones de ejemplos y observaron patrones. Hoy en día tenemos programas informáticos que soportan gran parte de la carga, pero he oído sugerir que algo se pierde al no estar tan "cerca del metal".

Hay algunos casos famosos en los que la intuición de la gente les hizo tropezar. Uno de ellos, incorrecto "prueba" del último teorema de Fermat suponía simplemente que la factorización única era válida para todos los campos numéricos algebraicos (Lamé, 1847). No es cierto.

Answer 3

Me temo que en matemáticas no se puede prescindir de demostrar las cosas (aunque ciertamente no hay que verificar cada detalle de cada demostración que se lee). Tienes un buen punto de vista en cuanto a que las construcciones habituales de los números reales se presentan a menudo como si la verificación de las propiedades requeridas fuera un ejercicio fácil, mientras que el relato muy legible y detallado en el libro de Landau Fundamentos del análisis (utilizando las secciones Dedekind) ocupa más de 90 páginas. Citando a John H. Conway ( Sobre los números y los juegos p. 26):

En la práctica, el principal problema es evitar las tediosas discusiones de los casos. [Nadie puede pretender seriamente que haya discutido siquiera ocho casos en un teorema de este tipo. [la construcción de $\Bbb{R}$ de $\Bbb{Q}$ a través de secciones de Dedekind o secuencias de Cauchy] - pero he visto una presentación en la que un teorema tiene 64 casos].

Por otra parte, muchas personas (entre las que me incluyo) han llevado a cabo verificaciones formales completas de tales construcciones con cierta ayuda del ordenador, en sistemas como HOL . Pero incluso con el apoyo de la máquina, es bueno utilizar métodos más agradables que el crudo análisis de casos. Una simple observación es que una vez que se ha demostrado que la estructura aditiva $(\Bbb{R}, 0, +, <)$ es un grupo abeliano completo totalmente ordenado, se puede definir y verificar la estructura multiplicativa estudiando los homomorfismos conservadores de orden de $(\Bbb{R}, 0, +, <)$ que es más interesante y menos propenso a errores que trabajar directamente con las secuencias de Cauchy o las secciones de Dedekind.

Schanuel's Eudoxus Reals proporcionan otra entretenida construcción alternativa de los números reales que implica una interesante investigación de las autoformas de los enteros que no son exactamente homomorfismos aditivos.

Answer 4

Hay una tendencia hacia el excesivo formalismo en las matemáticas, que es la razón por la que gastaste las 9 horas para empezar. Seguramente el rigor es una parte importante de las matemáticas, pero el aprender de las matemáticas es un proceso más misterioso que no sigue el patrón "axioma-definición-teorema-prueba". Te sugiero que leas a algunos excelentes pedagogos que tenemos por ahí, como Polya y Freudenthal. Puede ahorrarte mucho tiempo a la larga.