¿Cuál es el origen de la "fibra" en las matemáticas?

Question

Quizás esta pregunta no sea relevante para las matemáticas, pero tengo mucha curiosidad. Estos días estoy estudiando Álgebra Abstracta.

Aprendo que la palabra fibra con definición: $f^{-1}({y}) = \{x \in X | f(x) = y\}$ para $\forall y \in Y$ , donde $f: X \rightarrow Y$ es un mapa.

Y la definición de normal fibra en los estados de Wikipedia:

Fibra o fibra (del latín fibra) es una sustancia natural o sintética que es significativamente más larga que ancha. Las fibras se utilizan a menudo en la fabricación de otros materiales.

En fibra en matemáticas tienen alguna relación con la definición normal? ¿O son algo parecidas? ¿Por qué definen el imagen inversa con fibra ?

¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Mi conjetura sería que se trata de un cuadro geométrico como el siguiente (imagen tomada de Wikipedia):

Lo que estás viendo es un ejemplo de haz vectorial (concretamente, un haz de líneas) que es un tipo particular de haz de fibras. La idea es que si dejamos que $M$ sea la banda de Mobius y $S^1$ la línea negra (en realidad un círculo) representada, entonces hay un mapa $M\to S^1$ proyectando verticalmente hacia abajo en $S^1$ .

La fibra sobre un punto $P$ de $S^1$ digamos que tomamos $P$ que se encuentra en la parte resaltada en rojo, es entonces sólo la línea vertical en $M$ perpendicular a la línea roja, atravesando $P$ . En este sentido, se trata de una "fina hebra" que se extiende sobre nuestro punto, lo que intuitivamente parece coincidir con la definición de "fibra" que has citado.

Answer 2

Supongo que la fibra proviene realmente de la definición geométrica/topológica de un haz de fibras que ha sido transportado al lenguaje algebraico.

En particular, se utiliza en el sentido de que es un "hilo" o "cuerda" para construir cosas más grandes (fibra de un textil, o fibra muscular.)

A partir de esto, tiene sentido, ya que $X= \bigcup_{y \in Y} f^{-1}(\{y\})$ Así que $X$ puede construirse a partir de las preimágenes (o) para $Y$ . Esto es especialmente cierto si se tiene en cuenta el primer teorema de isomorfismo:

$$X/ \ker \phi \cong Y$$

Así que las clases de equivalencia $[x]:=x+ \ker\phi$ se piensa que su espacio se construye a partir de las piezas "más finas" que se pueden identificar con preimágenes de $y \in Y$ .

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Si le interesa un enfoque más general ( esto no es ciertamente de donde viene ), existe la noción categórica del producto fibrado que es esencialmente un "diagrama de retroceso".

En el caso de que $f:A \to B$ es algún morfismo y $i:B^{\prime}\hookrightarrow B$ es sólo inclusión, entonces el pullback (o producto fibrado) de $f$ y $i$ es sólo la preimagen de $B^{\prime}$ junto con la inclusión en $A$ . En particular, si $B^{\prime}$ es un solo elemento, entonces es la preimagen, (o fibra) en un punto $b \in B$ .

Answer 3

Desde http://jeff560.tripod.com/f.html :

FIBRA , FIBRA DE FONDO y ESPACIO FIBRA . Según J. Dieudonné A Historia de la topología algebraica y diferencial 1900-1960 p. 387, los términos "fibra" (alemán "Faser") y "espacio de fibra" ("gefaserter Raum") probablemente aparecieron por primera vez en Herbert Seifert "Topologie dreidimensionaler gefaserter, Räume", en Acta Mathematica , 60, (1932), 147-238. Sin embargo, Dieudonné añade que las definiciones de Seifert "están se limitan a un caso muy especial y su punto de vista es bastante diferente de los conceptos modernos". Los conceptos modernos aparecen en los década de 1940, principalmente en la obra de Hassler Whitney. Whitney define un fibra-fondo en "On the Theory of Sphere-Bundles", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 26, No. 2 (15 de febrero de 1940), p. 148. En pocos años, los términos relacionados paquete , fibra y espacio de fibra apareció: véase N. Steenrod La topología de los haces de fibras (1951). En los últimos años la ortografía fibra se ha convertido en habitual, conforme al uso común de los Estados Unidos.

Wikipedia añade que la definición de Seifert no incluía el espacio base, y que Whitney consideró primero sólo las fibras esféricas.

Curiosamente, la Fibración de Hopf recibió el nombre de después de Heinz Hopf. Su obra original, Sobre las ilustraciones de la esfera tridimensional en el tablero de mando de 1931 describe un mapa suryectivo $S^3\to S^2$ que no es nullhomotopic. No puedo encontrar una referencia, pero no me sorprendería que Whitney lo pusiera en el lenguaje de $S^1$ paquetes.

En la terminología moderna, un haz de fibras es un mapa $p:E\to B$ con algunas propiedades adicionales, y cada fibra es la imagen inversa de un punto en el espacio base $B$ . No es un salto demasiado grande decir que las fibras de un mapa arbitrario son las imágenes inversas de los puntos.

Para los grupos, un mapa $p:G\to H$ da una descomposición de $G$ en fibras, cada una de las cuales es un coset de $\ker p$ . Si $G,H$ son grupos topológicos, esto efectivamente descompone $G$ como un espacio de fibra.

Otro ejemplo es $p:SL(2,\mathbb{R})\to\mathbb{R}^2-\{(0,0)\}$ definido por $p(A)=Ae_1$ . Las fibras de este mapa son cosetas del estabilizador del vector $e_1$ y se puede comprobar que estas fibras son unidimensionales. Esto descompone $SL(2,\mathbb{R})$ como un espacio de fibras, y además muestra que el grupo es homeomorfo a un toro sólido.

Answer 4

Sin tener una fuente, me parece plausible que el término fibra venga de como la proyección mapas $f:X\to Y$ donde $X$ puede pensarse que se parece de alguna manera a $Y\times[0,1]$ (un cilindro sobre $Y$ o, más generalmente, un haz de fibras).

Considera esta imagen:

La preimagen $f^{-1}(y)$ es una "línea sobre $y$ ". Si se mira muchos tales puntos $y$ y sus preimágenes simultáneamente, entonces se puede tener la impresión de que $X$ es un grueso haz de estas líneas, o fibras bien apretados (como una cuerda).