simple pregunta de probabilidad sobre un evento mutuamente excluyente

Question

Si $P(A) = 1/3$ y $P(B^{ \complement }) = 1/4$ entonces, puede $A$ y $B$ ser mutuamente excluyentes?

Ya sé que para $A$ y $B$ para ser mutuamente excluyentes, $A \cap B = \varnothing $ y $P( A \cup B ) = P (A) + P(B)$ .

No puedo proceder más allá de esto para probar si $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes aunque como siento que esto no es suficiente información para determinar eso.

por favor, ayuda

Gracias.

Answer 1

Desde $P(B^{\complement})$ (que es $B$ complemento) es igual a $\frac{1}{4}$ , $P(B) = \frac{3}{4}$ .

Ahora $P(A)+P(B)-P(A \cap B)$ debe sumar menos de $1$ . Sin embargo, $P(A)+P(B)$ es $\frac{1}{3} + \frac{3}{4} = \frac{13}{12}$ . La probabilidad mínima de $P(A \cap B)$ es por lo tanto $\frac{1}{12}$ . ¿Qué puede concluir, dada su primera condición? (que es para $A,B$ para ser mutuamente excluyentes, $A \cap B = \varnothing$ .)

Answer 2

Pista:

Si son mutuamente excluyentes entonces $P(A)+P(B)=P(A\cup B)\leq1$ .

Compruebe si se cumple esa condición necesaria y saque conclusiones.

Answer 3

$P(B^{\complement}) = 1/4$ da eso $P(B) = 1 - 1/4 = 3/4$

$P(A) = 1/3$

Esto da

$P(A) + P(B) = 13/12$

Usted declaró que $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ es una condición necesaria para que A y B se excluyan mutuamente.

Si este fuera el caso, el evento $(A \cup B)$ tendría una probabilidad de 13/12 que es mayor que 1.

Pero ningún evento puede tener una probabilidad mayor de 1. Por lo tanto, no puede ser cierto que $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

Como esto era una condición necesaria para que se excluyeran mutuamente, eso tampoco puede ser cierto.