¿Preservar los homeomorphisms cierres de subespacios?

Question

Deje $X$ $Y$ ser espacios topológicos y deje $A \subseteq X$ ser un subespacio de $X$. Supongamos $A$ es homeomórficos a algunos subespacio $B \subseteq Y$$Y$. Deje $f$ explícitamente denotar esta homeomorphism.

Si $f : A \to B$ es un homeomorphism, no $f$ extenderse a un homeomorphism entre el$\text{Cl}_X(A)$$\text{Cl}_Y(B)$, yo.e ¿existe un $g : Cl_X(A) \to Cl_Y(B)$, de tal manera que $g|_{A} = f$.

Más generalmente, si $A$ $B$ son homeomórficos, ¿eso implica que $Cl_X(A)$ $Cl_Y(B)$ son homeomórficos?

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Si $X$ $Y$ son homeormorphic, esto es cierto, ya que es bien conocido teorema que $f[Cl_X(A)] = Cl_Y(f[A] = B)$ si $f : X \to Y$ es un homeomorphism.

Sin embargo, me parece que no puede venir para arriba con un contraejemplo para mi pregunta, ya que supongo que la implicación es falsa.

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Edit : sé un contraejemplo que viene de CW Complejos, donde si $(X, \xi)$ es un CW-Complejo, $\xi$ es una colección de celdas abiertas $e$, los cuales son espacios topológicos homeomórficos a $\mathbb{B}^n$ el abierto de la unidad de pelota en $\mathbb{R}^n$. Cada una de las $e \subseteq X$ es un subespacio de un haursdoff espacio de $X$.

También una de celda cerrada $\bar{e}$ es un espacio topológico homeomórficos a la unidad cerrada balón $\mathbb{\bar{B}}^n \subseteq \mathbb{R}^n$

Ahora, en este ejemplo,$Y = \mathbb{R}^n$. También se sabe que para cualquier $e \in \xi$, $Cl_X(e) \neq \bar{e} \cong {\mathbb{\bar{B}}^n} = Cl_Y(\mathbb{{B}}^n \cong e) $

Por lo tanto $e$ $\mathbb{B}^n$ son homeomórficos, sin embargo $Cl_X(e)$ no es homeomórficos a $Cl_Y(\mathbb{B}^n) = \mathbb{\bar{B}}^n$, ya que el $Cl_X(e) \neq \bar{e}$

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Pero usando el ejemplo de arriba se siente como llevar un arma a una lucha del cuchillo, hay más contraejemplos?

Answer 1

$A=S^1\setminus \{p\} \subseteq X= S^1$ (para cualquier $p \in S^1$) es homeomorfa a $B=(0,1) \subseteq Y = [0,1]$. Pero su respectivos cierres $X$ y $Y$ no son.

Más trivial: $A = (0,1) \subseteq X=\mathbb{R}$ y $B = Y = \mathbb{R}$, donde $\overline{B} = B$ $\overline{A}$ se convierte en compacto.

Answer 2

Que $A$ ser un no cerrado subconjunto de espacio compacto Hausdorff espacio $Y$, con la topología inducida; Ahora toma $X=A$ y $f\colon X\to Y$ el mapa de la inclusión. El cierre de $A$ $X$ $A$, no compacta; el cierre de $f(A)$ $Y$ es compacto.

Ejemplo explícito: $A=X=(0,1)$, $Y=[0,1]$.

Answer 3

Supongamos que $X$ tiene un % de sub-espacio $A$que es homeomorfa a $X$ donde $A$ no es un subconjunto cerrado de $X$ y $Cl_X(A)\ne A$ y no es homeomorfa a $A$ $Cl_X(A)$. Que $X=Y=B$y que $f:A\to B$ ser cualquier Homeomorfismo. Desde $f$ es una biyección de $A$ en $Y$ y $Cl_X(A)\ne A,$ por lo tanto $f$ no puede extenderse a una biyección de $Cl_X(A)$ en $Cl_Y(B)=Y.$ y $Cl_Y(B)=Cl_X(X)=X$ homeomophic $A$, que no es homeomorfa a $Cl_X(A).$

Un ejemplo simple es $X=Y=B=\mathbb R$ y $A=(-\pi /2,+\pi /2)$ y $f(x)=\tan x.$