Calcula la altura de un objeto lejano utilizando ángulos estimados desde dos puntos diferentes.

Question

Sabía cómo hacer esto hace tiempo, encontré el problema exacto en mi viejo libro de trigonometría, pero no consigo resolverlo.

Digamos que estoy a una distancia desconocida de una montaña, llamada punto P, y estimo que el ángulo de elevación hasta la cima de la montaña es de 13,5 grados. Luego me muevo al punto N, que está 100 metros más cerca de la montaña, y estimo que el ángulo de elevación es de 14,8 grados. ¿Cuál es la altura de la montaña?

Recuerdo que esta información es suficiente para resolver ambos triángulos, pero sin la distancia a la montaña, o la altura de la montaña, estoy perdido. Se agradecen las pistas.

Answer 1

O...

Utiliza la ley de los senos para encontrar el lado más largo del triángulo con el lado de 100 m (conoces todos los ángulos).

Este lado más largo es también la hipotenusa de otro triángulo rectángulo en el que se conoce el ángulo opuesto a la altura que se desea...

Answer 2

Esta imagen le dará una buena idea. Utilice el $\tan$ en ambos ángulos, y resolver la ecuación porque

$$ \begin{align*} \frac{height}{length+100} &= \tan 13.5^\circ \\ \frac{height}{length} &= \tan 14.8^\circ \end{align*} $$

Parece que obtendrás un par de ecuaciones simultáneas. Así que 2 ecuaciones lineales y 2 incógnitas, bastante fácil de resolver.

Responderé a su comentario aquí mismo. Lo que puedes hacer es resolver anulando la altura.

Por ejemplo. $$ \begin{align*} \\tan 14.8^\circ \times {length} &= \tan 13.5^\circ \times ({length+100}) \end{align*} $$ Hay otras formas de resolver las ecuaciones lineales simultáneas. Te dejo que las descubras todas.

Answer 3

Dejemos que $h$ sea la altura de la montaña (en metros), y $d$ la distancia desde $P$ a la montaña. Entonces tienes $h/d=\tan(13.5)$ y $h/(d-100)=\tan(14.8)$ (todos los ángulos en grados), que puedes resolver para $h$ y $d$ .

Answer 4

Esto es lo que se me ha ocurrido:

 = angle of elevation at P = 13.5 deg
 = angle of elevation at N = 14.8 deg
d = distance between points P and N = 100m
h = height of mountain

h = (d * tan  * tan ) / (tan  - tan )
h = (100 * tan 14.8 * tan 13.5) / (tan 14.8 - tan 13.5) = 262.8m

He comprobado esta respuesta encontrando la intersección de las dos ecuaciones de bryansis2010:

x * tan 14.8 = (x + 100) * tan 13.5

Answer 5

Dejemos que $O$ y $M$ el punto de la base y la punta de la montaña, respectivamente. A continuación, $$NM=100\cdot\frac{\sin13.5}{\sin1.3},$$ y $OM$ es la altura de la montaña, donde $$OM=NM\cdot\sin14.8\approx262.854.$$ Tenga en cuenta que la entrada del seno está en grados.