Estos son los números de las maneras en que usted puede formar a $4$-tuplas de $m$ diferentes elementos con $4$, $3$, $2$ y $1$ entradas diferentes, respectivamente. Con $1$ entrada, sólo tiene $1$ elección, por lo $W=1$. Con $2$ entradas diferentes, puede tener $1$ de uno y $3$ ($4$ posibilidades), $2$ ($6$ posibilidades) o $3$ de uno y $1$ de los otros (otro $4$ posibilidades), para un total de $X=14$ posibilidades. Con $3$ entradas diferentes, que necesariamente tienen $2$ de uno y $1$ de cada uno de los otros dos; ha $3$ opciones para que uno ha $2$, y, a continuación, $12$ maneras de disponer de ellos, por lo $Y=3\cdot12=36$; y con $4$ diferentes entradas que ha $4!=24$ maneras de disponer de ellos. Hay $m^4$ $4$-tuplas en total, y $\binom mk$ formas de elegir los $k$ diferentes elementos.
También, tenga en cuenta que los números de Stirling del segundo tipo satisfacer la identidad
$$
\sum_{k=0}^n\left\{n\cima de k\right\}(x)_k=x^n\;,
$$
donde $(x)_k$ es el símbolo de Pochhammer,
$$(x)_k=x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)=k!\binom xk\;,$$
así tenemos
$$
\sum_{k=0}^nk!\a la izquierda\{n\cima de k\right\}\binom xk=x^n\;,
$$
así que sus coeficientes están dados por $\displaystyle k!\left\{4\atop k\right\}$$k=1,\dotsc,4$.
Estos dos puntos de vista están relacionados en la que los números de Stirling del segundo tipo, cuente el número de particiones de $n$ elementos en $k$ conjuntos, y para cada partición puede optar $k$ $m$ artículos y asignarlos a los grupos de la partición en $k!$ diferentes maneras.
