Cruzando un carril de tráfico

Question

Un peatón deseos para cruzar de un solo carril de movimiento rápido de tráco. Supongamos que el número de vehículos que han pasado por el tiempo t, es un proceso de Poisson de tasa , y supongamos que se toma un tiempo para caminar por el carril. Suponiendo que el peatón puede prever correctamente los tiempos en que los vehículos pasen por,

Pregunta: 1

¿cuánto tiempo en promedio se tarda en cruzar de forma segura? [Tenga en cuenta el tiempo en el cual el 1er coche pasa.]

Pregunta 2:

¿Cuánto tiempo en promedio se tarda en cruzar similar de dos carriles (a) cuando uno debe caminar en línea recta a través (suponiendo que el peatón no cruzará si, en cualquier momento, mientras que cruzar, un coche que iba a pasar en cualquier dirección), (b) cuando una isla en el medio de la carretera hace que sea seguro para dejar a mitad de camino?

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Intento:

Pregunta 1: Puede ser calculado por el condicionamiento de la primera llegada. $E[X]=\int E[X|Y=y]f_Y(y)dy$ donde $Y$ es el tiempo de la primera de tráfico. La respuesta es $(e^{\lambda a}-1)\lambda^{-1}$.

Pregunta 2: a) creo que esto es de dos independiente proceso de poisson cada uno con el parámetro $\lambda$. Por lo tanto, la suma de los dos proceso de poisson = $2\lambda$. Por lo $E[X]=(e^{2\lambda a}-1)(2\lambda)^{-1}$.

b)creo que la respuesta es $2*(e^{\lambda a}-1)\lambda^{-1}$

Answer 1

Pregunta $1$: Si un vehículo llega antes de tiempo $a$, usted tiene que esperar y, a continuación, empezar de nuevo. De lo contrario, se toma el tiempo de $a$ a de la cruz. La probabilidad de que el primer vehículo para llegar al $t$$\lambda\mathrm e^{-\lambda t}$, por lo que el tiempo de espera para cruzar es

$$ T=\int_0^a\lambda\mathrm e^{-\lambda t}(t+T)\mathrm dt+\int_a^\infty\lambda\mathrm e^{-\lambda t}\mathrm dt=\frac1\lambda(1-\mathrm e^{-\lambda})+T(1-\mathrm e^{-\lambda})\;. $$

La solución para $T$ rendimientos $T=\frac1\lambda(\mathrm e^{\lambda a}-1)$, como usted escribió.

Su respuesta para 2a) es casi correcta, pero $a$ también se duplicó, por lo que la espera tiempo de cruce en este caso es $\frac1{2\lambda}(\mathrm e^{4\lambda a}-1)$.

Su respuesta a la 2b) está a la derecha y sigue por la linealidad de la expectativa.