La resolución del problema
El Teorema de la Divergencia de los estados
$$\oint_{\partial V}\vec{F}\cdot\text{d}\vec{S} = \int_{V}\vec{\nabla}\cdot\vec{F}\text{d}V$$
En nuestro caso, $S$ no es una superficie cerrada, por lo que tendremos que restar el flujo a través de las superficies formadas en los planos,$x=1$$x=2$, lo que vamos a llamar a $S_1$$S_2$.
$$\int_S \vec{F}\cdot\text{d}\vec{S} = \int_{V}\vec{\nabla}\cdot\vec{F}\text{d}V - \int_{S_1}\vec{F}\cdot\text{d}\vec{S}_1 - \int_{S_2} \vec{F}\cdot\text{d}\vec{S}_2$$
Calculamos la divergencia de $\vec{F}$:
\begin{align*}
\vec{\nabla}\cdot\vec{F} &= \frac{\partial}{\partial x}(2-x^2 yz + y^3) + \frac{\partial}{\partial y}(xy^2z ye^z) + \frac{\partial}{\partial z}(y^2 + z +e^z) \\
&=-2xyz +2xyz+e^z+1-e^z\\
&=1
\end{align*}
La integral triple de la función constante $1$ más que el volumen de la zona delimitada por la superficie de aquí, desde nuestra superficie no es cerrada, considerar en primer lugar el caso de que se trata y luego restar la superficie integral a través de las dos superficies que cerrar nuestro sólido, pero no son una parte de la superficie que se quiera considerar.
Para cualquier valor de $x$, $y^2 + z^2 = x^2$ es un círculo de radio $x$ sobre el $x$-eje en ese punto. Desde $x$ rangos de$1$$2$, su superficie es la superficie del cuerpo de rotación formado por la rotación de la gráfica de $f(x) = x$ sobre el eje de las x.
Podemos usar la fórmula para calcular el volumen de sólidos de rotación para calcular nuestra superficie integral: para el volumen del sólido de rotación formado por la rotación de la gráfica de $f(x)$ sobre el $x$-eje en el intervalo de $[a,b]$, tenemos
$$V =\pi\int_{a}^{b}f^2(x)\text{d}x$$
Por lo tanto, tenemos:
\begin{align*}
\oint_{\partial S}\vec{F}\cdot\text{d}\vec{S} = V &=\pi\int_1^2 x^2\text{d}x \\
&= \frac{\pi}{3}(8-1) \\
&= \frac{7}{3}\pi
\end{align*}
Ahora, consideramos que la integral de superficie en $S_1$$S_2$, a partir de con $S_1$.
En $S_1$, $x = 1$ y la unidad exterior vector normal $\hat{n}$ es sólo $-\hat{x}$. En la superficie, $\vec{F}$ está dado por
$$\vec{F} = (2 - yz + y^3, y^2 z + e^z,y^2 - z - e^z)$$
Debido al hecho de que somos la integración de más de un círculo de radio $1$, nos transforma a coordenadas polares con $(y,z)\rightarrow(r\cos\varphi, r\sin\varphi)$. Nuestro elemento de superficie es $\text{d}\vec{S} = -r\hat{x}\text{d}r\text{d}\varphi$.
Desde el interior del producto con un vector unitario sólo nos da la componente de un vector de campo, tenemos:
\begin{align*}
\int_{S_1}\vec{F}\text{d}\vec{S} &= -\int_0^1\text{d}r\int_0^{2\pi}\text{d}\varphi r(2-r^2\cos\varphi\sin\varphi + r^3\cos^3\varphi)\\
&=-\int_0^1\text{d}r\int_0^{2\pi}\text{d}\varphi r\left[2-\frac{r^2}{2}\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right) + r^3\cos\varphi\right]\\
&=-4\pi\int_0^1 r\text{d}r\\
&=-2\pi
\end{align*}
En la segunda línea, la de las integrales de las funciones trigonométricas se evalúa a $0$ debido a que ambos son $2\pi$-periódico.
De la misma manera, tratamos $S_2$. Aquí la unidad exterior vector normal $\hat{n}$$\hat{x}$, no $-\hat{x}$, e $x=2$ en todas partes.
$$\vec{F} = (2 - 4yz + y^3, 2y^2 z + e^z,y^2 - z - e^z)$$
Una vez más, pasamos a coordenadas polares y considerar sólo los $x$-componente. Ahora tenemos:
\begin{align*}
\int_{S_2}\vec{F}\text{d}\vec{S} &=
\int_0^2\text{d}r\int_0^{2\pi}\text{d}\varphi r\left[2-2r^2\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right) + r^3\cos\varphi\right]\\
&=4\pi\int_0^2 r\text{d}r\\
&=8\pi
\end{align*}
Poniendo estos resultados, obtenemos
\begin{align*}
\int_S \vec{F}\cdot\text{d}\vec{S} &= \oint_{\partial V}\vec{F}\cdot\text{d}\vec{S} - \int_{S_1}\vec{F}\cdot\text{d}\vec{S} - \int_{S_2}\vec{F}\cdot\text{d}\vec{S}_2\\
&=\frac{7}{3}\pi - 8\pi + 2\pi\\
&=-\frac{11}{3}\pi
\end{align*}
Observaciones generales sobre este tipo de problema
Es difícil hablar de un caso general, becase un montón de cosas pueden suceder. Usted podría encontrarse en una integral de superficie que es más fácil de resolver mediante la evaluación directamente. A veces, puede ser más fácil usar el teorema de la divergencia, incluso si la superficie no es cerrada, como en nuestro ejemplo, si la expresión de la divergencia es lo suficientemente bueno. Dado lo fácil que es para calcular la divergencia para la mayoría de los campos vectoriales que usted encontraría en una prueba, siempre me tratan de calcular y ver si eso hace la vida más fácil.
El mejor consejo que puedo dar para siempre tratar de esbozar su región en la que se están integrando. Casi cualquier tipo de simetría que tiene esta región puede ser explotado para hacer su vida más fácil - coordinar transforma a menudo son útiles aquí. Especialmente en las pruebas, he encontrado que inteligentemente la elección de las coordenadas o la explotación de simetrías con frecuencia hacer que la integración que debe realizar fácil.
Más allá de eso, la única cosa que realmente puede hacer es practicar un montón de este tipo de problemas, por lo que he visto muchos casos diferentes enfoques y por el tiempo que usted tiene de su examen. Lamentablemente, no hay un método que siempre funciona mejor para este tipo de problema.
