Prueba: Si n es un cuadrado perfecto, $\,n+2\,$ NO es un cuadrado perfecto

Question

"Demuestra que si n es un cuadrado perfecto $\,n+2\,$ NO es un cuadrado perfecto". Tengo problemas para elegir un método para demostrar esto. ¿Sería la contraposición una buena opción (o incluso funcionaría)? Si no, ¿qué tal la contradicción?

Answer 1

Pista: Todo cuadrado perfecto es $0$ o $1$ modulo $4$ .

Answer 2

Supongamos que $n=m^2$ y $n+2=k^2$ . Claramente $k>m$ Así que $k\ge m+1$ . Pero entonces $$n+2\ge (m+1)^2=m^2+2m+1\ge m^2+3=n+3$$ una contradicción.

Answer 3

$$n=a^2\,\,,\,\,n+2=b^2\Longrightarrow 2=(n+2)-n=b^2-a^2=(b-a)(b+a)$$

Ahora comprueba que esto es imposible (y $\,b>0\,$ )

Answer 4

Sugerencia $\rm\ f(n) = n^2\:$ está aumentando en $\Bbb N$ por lo que la diferencia entre dos valores diferentes es al menos la diferencia entre dos consecutivos valores, que es $\rm\:(n\!+\!1)^2 - n^2\:\! =\, 2n\!+\!1 > 2\:$ para $\rm\:n > 0.$

Nota: $\ $ Esto tiene una presentación natural por telescopio, Por ejemplo

$$\rm f(4)\!-\!f(1)\ =\ f(4)\!-\!f(3)\ +\ f(3)\!-\!f(2)\ +\ f(2)\!-\!f(1) $$

y dado que cada diferencia de la RHS es $> 2,\,$ también lo es el LHS.

Answer 5

No sé si hay que elegir una estrategia de prueba antes de haber jugado un poco con las hipótesis. En mi experiencia, pensar en las hipótesis tiende a sugerir estrategias de prueba naturales.

En este caso, yo pensaría así: los cuadrados perfectos son las sumas parciales de la serie de números Impares positivos, por lo que no se puede llegar al siguiente cuadrado perfecto sumando $2$ . Esto sugiere una contradicción.

Alternativamente - y esto sugeriría una prueba por contraposición - si usted ha arreglado $n$ fichas en un cuadrado, y quitas dos, ¿puedes reorganizarlas en un cuadrado más pequeño?