Cojunto de álgebra abstracta

Question

Estoy atascado en las siguientes preguntas "En la alternancia de grupo $A_4$, vamos a $H$ ser el subgrupo cíclico generado por $(123)$. Encontrar todos los cosets de $H$ y todos los de la izquierda cosets de $H$. Es todo el derecho coset también a la izquierda coset."

La respuesta es la siguiente "$H = [idx_4 , (123), (132)]$, por lo que cada coset tendrá orden 3, y desde $|A_4| = 12$ habrá 4 distintos cosets. Nos encontramos con la siguiente a la derecha cosets:

$H = [idx_4 , (123), (132)]$

$H(234) =[ (234), (12)(34), (134)]$

$H(124) = [(124), (13)(24), (243)]$

$H(143) = [(143), (14)(23), (142)]$

y la siguiente a la izquierda cosets:

$H = [idx_4 , (123), (132)]$

$(234)H = [(234), (13)(24), (142)]$

$(124)H = [(124), (14)(23), (134)]$

$(143)H = [(143), (12)(34), (243)]$

y vemos que $H$ es la única coset que es a la vez una izquierda y una derecha coset."

Ahora entiendo cómo usted encontrar la izquierda y la derecha cosets, la cosa estoy atascado en la es ¿por qué eligieron $(234), (124), (143)$ de las opciones posibles a partir de la alternancia de grupo $A_4$ como las permutaciones que $H$ se utiliza?

Answer 1

Esto es probablemente debido a que $3$-ciclos generar el grupo que se alterna. En el caso de $A_4$ hay sólo $8$ % #%-ciclos de #%, $3$ y sus inversas. Así que basta con tomar $(123),(124), (134), (234)$ (diferente de $3$ y su inverso).

Answer 2

La elección fue una medida arbitraria. El hecho es que cualquier elemento único de cada coset puede ser elegido para representar.

Si tu pregunta es cómo encontrar estos elementos, se puede trabajar de forma recursiva. La forma más fácil coset a encontrar es $H$ sí. Para buscar la siguiente coset, elija cualquier elemento $a_1$ no $H$. Esto le dará un nuevo coset. Para encontrar todos los elementos en este coset, multiplicar $a_1$ a la izquierda o a la derecha (dependiendo de si usted está haciendo la derecha o a la izquierda cosets) por cada elemento de a $H$.

Supongamos que usted haya encontrado $n$ cosets $Ha_0,\ldots,Ha_n$. Siguiendo este procedimiento, usted también sabe que todos los elementos de la unión de estos cosets. Si usted escoge un elemento $a_{n+1}$ no en el de la unión, esto le dará un nuevo coset. Si la unión es el de todo el grupo, luego de que usted haya encontrado todos los cosets.

Answer 3

No sé cuánta teoría del grupo han cubierto hasta ahora, pero si se considera el subgrupo de $A_{4}$ $ V = \ {1, (12)(34), (13)(24), (14)(23) \}, $$ tienes $$ \ {v h: \in v V, \in H\ h} = H V = R_ {4} = H V = \ {h v : v \in V, \cap \in H\},$$ with $V h H = \ {1 \} $.

Así, aunque como se ha señalado en otras respuestas hay muchas opciones para conjuntos de representantes de la izquierda y derecha cojunto (realmente $3^{4}$ opciones para cada conjunto!), el conjunto de $V$ algo es una elección natural.