En $\forall x\ne 0: x^TAx>0$ significa todos los valores propios de $A$ ¿son reales?

Question

Sea $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$

En $\forall x\ne 0,x\in \mathbb{R}^n: x^TAx>0$ significa $A$ sólo tiene valores propios reales (las raíces del polinomio característico son todas reales)?

Answer 1

No. Toma $A:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ ser una rotación por un ángulo pequeño.

Answer 2

Consideremos la matriz $A = \begin{bmatrix}a & -b\\ b & a\end{bmatrix}$ avec $a > 0$ y $b \neq 0$ .

Entonces, $x^TAx = \begin{bmatrix}x_1 & x_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & -b\\ b & a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix} = a(x_1^2+x_2^2) > 0$ para todos $x \neq 0$ .

Pero los valores propios de $A$ son $a \pm bi$ que no son reales.

Answer 3

No. Considera un $2 \times 2$ matriz real $A$ tal que

$A = \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix} \tag{1}$

con $a > 0$ , $b \ne 0$ . Si $x = (y, z)^T$ entonces

$x^TAx = (y, z)\begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix}(y, z)^T = (y,z)(ay + bz, -by + az)^T = a(y^2 + z^2) > 0 \tag{2}$

si $x \ne 0$ . Pero el polinomio característico $p_A(\lambda)$ de $A$ es evidentemente

$p_A(\lambda) = \lambda^2 - 2a\lambda + (a^2 + b^2); \tag{3}$

las raíces de (3) son $a \pm bi$ no es real ya que $b \ne 0$ .

También es posible construir ejemplos de mayor tamaño que $2$ colocando $2 \times 2$ matrices de la misma forma general que $A$ como bloques diagonales en una matriz diagonal de bloques mayor.

Nota añadida el lunes 1 de septiembre de 2014 2:13 PM PST: He aquí otra clase de matrices que, aunque son definidas positivas, tienen valores propios complejos; representa una generalización significativa de los ejemplos anteriores. Sea $K$ sea una matriz no nula, real, asimétrica, de tamaño $n$ ; $K^T = -K$ . Es bien sabido que los valores propios no nulos de tal a $K$ son puramente imaginarios. Elegir lo real $\lambda > 0$ set $A = \lambda I + K$ . Entonces, para cualquier $x \in \Bbb R^n$ ,

$x^TAx = x^T (\lambda I + K)x = x^T(\lambda I)x + x^TKx = \lambda x^Tx > 0, \tag{4}$

desde $x^TKx = 0$ para simetría sesgada $K$ ( $(x^TKx)^T = x^TK^Tx = -x^TKx$ ; pero $x^TKx$ es escalar real por lo que tenemos $(x^TKx)^T = x^TKx$ y así $x^TKx = - x^TKx \Rightarrow x^TKx = 0$ ). Así, $A$ es positiva definida. Sin embargo, los valores propios de $A$ son de la forma $\lambda + i\omega$ donde $i\omega$ es un valor propio de $K$ : si $Kz = i\omega z$ entonces $Az = (\lambda + i\omega) z$ y si $Az = (\lambda I + K)z = (\lambda + i\omega)z$ entonces $Kz = i\omega z$ etc. Fin de la nota.

Espero que esto ayude. Salud,

y como siempre,

¡¡¡Fiat Lux!!!

Answer 4

No es cierto en general, como contraejemplo dado por @robert lewis. Pero si A es una matriz simétrica real,entonces no sólo los valores propios serán reales,sino también positivos.