Pruebalo $\sum \limits_{d|n}(n/d)\sigma(d) = \sum \limits_{d|n}d\tau(d)$

Question

Cómo puedo demostrar:

$$\sum \limits_{d|n}(n/d)\sigma(d) = \sum \limits_{d|n}d\tau(d)?$$

Algunas observaciones: lado izquierdo es una función de suma y la derecha es un número de función de divisores. Ambos lados son multiplicativos. No quiero iniciar expansión como esta. ¡Agradeceria cualquier ayuda sobre cómo interpretar las sumas!

Answer 1

$$\sum_{d\mid n} \frac{n}d \sigma(d) =\sum_{d_1\mid n}\frac{n}{d_1}\sum_{d_2\mid d_1} d_2 = \sum_{d_2\mid d_1\mid n}\frac{n}{d_1/d_2}$$

$$\sum_{d\mid n} d\tau(d)= \sum_{d_3\mid n} d_3\sum_{d_4\mid d_3}1 = \sum_{d_4\mid d_3\mid n} d_3$$

Ahora, mapa $(d_1,d_2)$ $(d_3,d_4)=(nd_2/d_1,n/d_1)$ y vemos que tenemos las mismas cantidades.

Así que, más generalmente, si define $S_n=\{(d_1,d_2): d_2\mid d_1\mid n\}$% #% luego el mapa $S_n\to S_n$ #% es una biyección. Por lo tanto, para cualquier función $(d_1,d_2)\to\left(\frac{nd_2}{d_1},\frac n{d_1}\right)$ de dos números naturales, tenemos:

$f(m,n)$$

Lo anterior es sólo el caso de $$\sum_{(d_1,d_2)\in S_n} f(d_1,d_2)=\sum_{(d_1,d_2)\in S_n} f\left(\frac{nd_2}{d_1},\frac{n}{d_1}\right)$.

Answer 2

Primero nos cuenta que por definición tenemos

$$\sigma(d) = \sum_{d_1|d}d$$

$$\tau(d) = \sum_{d_1|d}1$$

Entonces sustituyendo en cada lado de la ecuación obtenemos

$$\sum_{d|n}\frac{n}{d}\sigma(d) = \sum_{d|n}\frac{n}{d} \sum_{d_1|d} d_1 = \sum_{d|n}\sum_{d_1|d} \frac{n}{d/d_1}= \sum_{\substack{n=de\\d=d_1d_2}}\frac{n}{d/d_1} = \sum_{n=d_1d_2e}\frac{n}{d_2} = \sum_{n = d_1d_2e} d_1e$$

$$\sum_{d|n}d\tau(d) = \sum_{d|n}d\sum_{d_1|d} 1 = \sum_{d|n} \sum_{d_1|d} d = \sum_{\substack{n = de\\ d = d_1d_2}} d = \sum_{n = d_1d_2e} d_1d_2$$

Y podemos ver que las dos sumas son iguales.