Una pregunta me vino a la mente mientras miraba la demostración del teorema de Gelfand-Naimark. ¿Es la transformada de Fourier un tipo de transformada de Gelfand? ¿Hay otras transformadas conocidas que lo sean?
Respuesta
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Sí, la transformada de Fourier es la transformada de Gelfand para las álgebras conmutativas de Banach $(L_1(G),*)$ donde $G$ es un grupo conmutativo localmente compacto. Se puede demostrar que existe una biyección entre los homomorfismos de $(L_1(G),*)$ en $\mathbb{C}$ y los elementos del dual Pontryagin $\hat{G}$ que se utiliza para definir la transformada de Fourier.
Hay más detalles en el libro de Kaniuth "Curso de álgebras de Banach conmutativas" (sección 2.7).
Véase también la entrada de la wikipedia sobre La dualidad Pontryagin .
