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Si n=32k22k, entonces el n3n12n1

Que kN y que n=32k22k. Mostrar que %#% $ #%

No tengo ni idea de cómo comprobarlo. ¿Alguna sugerencia?

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Mathmo123 Puntos 10634

Sugerencias:

  1. Mostrar que n-1 \equiv 0 \pmod {2^k}. (Sugerencia: \phi(2^k) = 2^{k-1})
  2. Usar el hecho de que 3^{2^k} \equiv 2^{2^k} \pmod n (desde n \equiv 0 \pmod n) y que 2^k \mid n-1 para obtener el resultado.

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The Great Seo Puntos 1631

Es suficiente demostrar que $$2^k\mid n-1, desde que, usando a-b\mid a^m-b^m, la prueba es completa.

2^k\mid n-1 Es fácil: sólo tiene que utilizar Teorema de Euler teorema binomialy obtenemos el resultado.

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Sridher Puntos 16

La forma más compacta en este tipo de preguntas es dejar a_t = 3^t - 2^t y ver cuando n\mid m y a_n \mid a_m % enteros positivos n,m.si usted demuestra por lo tanto, que 2^k \mid a_{2^k}-1 a_{2^k} \mid a_{a_{2^k}-1}.

Desde \gcd(3, 2^k)=1 entonces de Euler teorema 3^{2^{k-1}} \equiv 1 \;\; \text{mod} \; 2^k porque \varphi(2^k)=2^{k-1}. además,

a_{2^{k}}=3^{2^{k}}-2^{2^k} \equiv (3^{2^{k-1}})^2 - 0 \equiv 1 \;\; \text{mod} \; 2^k

que es lo que queríamos.

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