Si $n=3^{2^k}-2^{2^k}$, entonces el $n\mid 3^{n-1}-2^{n-1}$

Question

Que $k \in \mathbb{N}$ y que $n=3^{2^k}-2^{2^k}$. Mostrar que %#% $ #%

No tengo ni idea de cómo comprobarlo. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Sugerencias:

1. Mostrar que $n-1 \equiv 0 \pmod {2^k}$. (Sugerencia: $\phi(2^k) = 2^{k-1}$)
2. Usar el hecho de que $3^{2^k} \equiv 2^{2^k} \pmod n$ (desde $n \equiv 0 \pmod n$) y que $2^k \mid n-1$ para obtener el resultado.

Answer 2

Es suficiente demostrar que $$2^k\mid n-1,$ $ desde que, usando $a-b\mid a^m-b^m$, la prueba es completa.

$2^k\mid n-1$ Es fácil: sólo tiene que utilizar Teorema de Euler teorema binomialy obtenemos el resultado.

Answer 3

La forma más compacta en este tipo de preguntas es dejar $a_t = 3^t - 2^t$ y ver cuando $n\mid m$ y $a_n \mid a_m$ % enteros positivos $n,m.$si usted demuestra por lo tanto, que $2^k \mid a_{2^k}-1$ $a_{2^k} \mid a_{a_{2^k}-1}.$

Desde $\gcd(3, 2^k)=1$ entonces de Euler teorema $3^{2^{k-1}} \equiv 1 \;\; \text{mod} \; 2^k$ porque $\varphi(2^k)=2^{k-1}.$ además,

$$a_{2^{k}}=3^{2^{k}}-2^{2^k} \equiv (3^{2^{k-1}})^2 - 0 \equiv 1 \;\; \text{mod} \; 2^k$$

que es lo que queríamos.