¿Qué ocurre con mi cálculo integral?

Question

Quiero resolver la integral $\int_1^\infty\frac{a}{a^2+x^2}dx$ $a>0$ Dónde está una constante

¿Primero intenté simplificar así\begin{align} \frac{a}{a^2+x^2} &=\frac{1}{a+\frac{x^2}{a}} \\[6px] &=\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2} \end {Alinee el} que me tiene\begin{align} \int_1^\infty\frac{a}{a^2+x^2}dx &=\frac{1}{a}\int_1^\infty\frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2}dx\\[6px] &=\frac{1}{a}\left[\arctan \frac{x}{a}\right]_1^\infty \end {Alinee el} que está mal, pero no puedo ver mi error, alguien me puede ayudar con esto?

Answer 1

\begin{align} \int_1^\infty\frac{a}{a^2+x^2}dx &=\frac{1}{a}\int_1^\infty\frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2}dx\\[6px] &=\int_1^\infty\frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2}d\frac{x}{a}\\[6px] &=\left[\arctan \frac{x}{a}\right]_1^\infty\\[6px] &=\frac{\pi}{2}-\arctan\frac{1}{a}=\arctan a \end {Alinee el}

Si $a<0$, a continuación, el paso final dará $\pi+\arctan a$.