"Algebrization" de conceptos analíticos

Question

Por favor, disculpe mi inventando nuevas palabras en el título. He estado estudiando la geometría algebraica, y una de mis partes favoritas de la asignatura (al menos, antes de esquemas) es la forma en que se puede describir, o incluso definir, el espacio de la tangente en un punto de $P$ de una variedad $V$ puramente algebraica, como el (doble espacio) $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ donde $\mathfrak{m}$ es el único ideal maximal de el anillo local $\mathcal{O}_{V,P}$.

¿Hay otros ejemplos de conceptos que son tradicionalmente analítica en la naturaleza, pero se han dado alternativas algebraicas descripciones?

Mi búsqueda arrojó poco más allá de diferencial álgebra, la cual parece ser una subdesarrollados objeto de estudio, pero yo creo que si uno quería "re-imaginar" el análisis utilizando el álgebra abstracta, este sería un buen lugar para iniciar la toma de las interesantes propiedades algebraicas de derivados (tales como el producto de la regla) y la creación en la definición de algunas de las nuevas algebraicas objeto. Algebraicas análisis es que, al parecer, también un objeto de estudio, pero la información es escasa.

Por el contrario, hay casos de algebraica de los conceptos que se van a re-lanzamiento solo en términos de análisis?

Answer 1

En álgebra conmutativa y geometría algebraica hemos puramente algebraica versiones de algunos de los análisis de los objetos tales como el módulo de derivados (secciones de la tangente bundle), módulo de Kahler diferenciales (secciones de la cotangente del paquete), los operadores diferenciales, etc.

Pero el punto es el uso de esta objetos como herramientas para el estudio de algunas propiedades de los anillos y esquemas. Por ejemplo podemos utilizar Kahler diferenciales para el estudio suave o etale mapas. Nosotros los necesitamos a ellos, ya que no es posible definir de manera algebraica, sino porque son realmente útiles.

Otro punto importante es que los anillos y esquemas pueden ser singular, este es un fenómeno que no vemos en la escuela primaria la geometría diferencial. Por esta razón, hemos (co)tangente complejo (no sólo una (co)el espacio de la tangente), las terminaciones en la definición de de Rham cohomology etc

Como para algebraica de los conceptos de re-emitidos en términos de análisis, Koszul de conexión y su curvatura es el primer objeto que viene a la mente. Se utiliza en geometría diferencial, pero es una manera totalmente algebraicas objeto y puede definirse para cualquier módulo a través de un anillo o gavilla de los módulos a través de un esquema. Pero esta noción no es tan útil en la geometría algebraica como en la geometría diferencial.

Answer 2

Este podría ser un poco de mente simple (en comparación con Alex de la respuesta), pero:

Usted puede definir lo que es una secuencia convergente y su límite es puramente entramado teórico de los medios, es decir, mediante el uso de $\limsup$$\liminf$, pero la definición de ellos a través contables suprema y infima (que no impliquen límites).

Puede definir el valor (posiblemente $\infty$) de una serie de un positivo secuencia $(x_i)$ por el entramado teórico de los medios a través de: $$\sum_{i\in \mathbb N} x_i := \bigvee \{\sum_{i\in I} x_i : I\subseteq \mathbb N, |I|<\infty\}$$ (donde $\bigvee = \sup$, estamos utilizando contables suprema),

Esto no es suficiente para explicar la serie en general, pero lo suficiente como para absolutamente convergentes:

$$\sum_{i\in \mathbb N} x_i = \sum_{i\in \mathbb N} x_i^+ - \sum_{i\in \mathbb N} x_i^-$$

donde $x_i^+$ $x_i^+$ son "positivos" y "negativos" de las partes, respectivamente.

Answer 3

Un montón de cosas que se pueden hacer en el álgebra. La terminación es típicamente una analítica cosa, pero se puede hacer a través de álgebra. Deje $A$ ser cierta estructura algebraica y para todos los $i\in\Bbb N$ tenemos que $S_i$ es una subestructura de tal manera que podamos hacer un cociente $A/S_i$, o si vamos más exóticos que se resolvería con la congruencia de las relaciones, de tal manera que $S_i\supseteq S_{i+1}$.

De todos modos el uso de este podemos lidiar con secuencias de cauchy definiendo que, usando la notación aditiva, una secuencia $(x_i)$ es de cauchy si para un determinado $k$ siempre existe un $N$ tal que para $i,j>N$ tenemos que $x_i-x_j\in S_k$. A través de este podemos completar los anillos, grupos, álgebras, módulos y mucho más. Esta es una forma sencilla de llegar a la $p$-ádico números. Este es también reversable como la secuencia de subestructuras induce natural de la métrica.

El derivado se ha mencionado antes, es otra.