Significa propiedad de valor implica harmonicity

Question

Es bastante fácil demostrar que las funciones armónicas satisfacen la propiedad del valor medio, pero parece más difícil demostrar lo contrario. He visto el siguiente teorema sin pruebas:

Si $u \in C(\Omega)$ cumple $$u(z) = \frac{1}{|\partial B_r(z) |} \int_{\partial B_r(z)} u\,dS$$ for all $z \in \Omega$ y $B_r(z) \subset \Omega$ y $u \in C^\infty$ $u$ es armónica en $\Omega$.

Cuando intento probarme a mí mismo, me quedé pegado. ¿Podría alguien amablemente me muestran cómo demostrarlo? Gracias.