Análisis complejo y poleas

Question

Un análisis complejo que el profesor me dijo una vez que "los ligamentos están por todo el lugar" en el análisis complejo. Por supuesto, se puede definir la gavilla de holomorphic funciones: si $U\subset \mathbf{C}$ (o $\mathbf{C}^n$) es un conjunto abierto no vacío, deje $\mathcal{O}(U)$ el valor del $\mathbf{C}$-espacio vectorial de holomorphic funciones de $f:U\to\mathbf{C}$, y dejamos $\mathcal{O}(\varnothing)=\{0\}$. Los mapas de restricción está dada por la restricción de holomorphic funciones para abrir subconjuntos. Esto define una gavilla en $\mathbf{C}$ con respecto a su nivel habitual de topología.

Aquí están mis preguntas:

1. Hay interesante re-interpretaciones de conocidos los resultados básicos de análisis complejo en el lenguaje de la teoría de la gavilla (sólo para obtener un pensamiento acerca de cómo las cosas podrían traducir)?
2. Hay nuevas e interesantes aspectos geométricos que una persona logra mediante la introducción de esta estructura? (Siéntase libre de reformular el contexto de la pregunta si 2 no tiene sentido).

Supongo que me parece contra-intuitivo que las poleas debe decir algo interesante sobre el análisis complejo, mientras que parece natural que deben decir cosas acerca de la geometría del espacio en el que están definidos.

Answer 1

Como complemento de Matt respuesta muy interesante, me permito añadir algunas palabras sobre el contexto histórico de Leray los descubrimientos.

Leray era un oficial en el ejército francés, y después de Frances la derrota de 1940, fue enviado a Oflag XVII en Edelsbach, Austria (Oflag=Offizierslager=campamento de prisioneros): mira aquí .
Los prisioneros fundó una universidad en cautiverio, de los cuales Leray fue el recteur (dean).

Leray fue un brillante especialista en dinámica de fluidos (él bromeó diciendo que él era de la onu, mecánico, mecánico!), pero temía que si los Alemanes aprendieron que dio un curso sobre ese tema, que le obligaría a trabajar para ellos y ayudarles en su máquina de guerra (aviones, submarinos,...).
Así que decidió enseñar a un inofensivo tema: topología algebraica!
Así se recreó los conceptos básicos sobre un tema en el que él era un neófito y se inventó poleas, gavilla cohomology y espectral de las secuencias.
Después de la guerra, su trabajo fue examinado, aclaró y amplificada por Henri Cartan (que introdujo la definición de poleas en términos de étalé espacios) y su estudiante de Koszul.
Serre (otro Cartan estudiante) y Cartan, a continuación, deslumbró al mundo con el poder abrumador de estas nuevas herramientas aplicadas a la topología algebraica, análisis complejo en varias variables y topología algebraica.

Me parece bastante interesante y conmovedor, que el patriotismo de un hombre valiente (los oficiales tenían la opción de ser liberados si están de acuerdo en trabajar para los Nazis), cambió el curso del siglo 20 en matemáticas.

Aquí, finalmente, es Haynes Miller fascinante artículo sobre Leray contribuciones.

Answer 2

Gavilla de la teoría fue introducida en el análisis complejo muy pronto después de que fue inventado por Leray (por desgracia, yo no sé realmente acerca de Leray motivaciones y las intenciones de la teoría), por Cartan, pero en el contexto de varias variables complejas, no sólo uno.

Lo que él hizo fue reformular Oka de teoremas en la gavilla de la teoría de la lengua, demostrando que la estructura de la gavilla $\mathcal O$ $\mathbb C^n$ es coherente. Él también demostró sus famosos Teoremas a y B sobre la coherente poleas en Stein espacios (que, por ejemplo, inmediatamente recuperar la Mittag-Leffler resultado discutido en Georges de la respuesta).

A grandes rasgos, la razón de que la gavilla de la teoría es útil en el análisis complejo es que uno no tiene la técnica de vendaje de particiones de la unidad, que está disponible en liso teoría de la función.

De hecho, uno puede utilizar las particiones de la unidad para mostrar que la mayor cohomology de la gavilla de las funciones lisas (y de los relacionados con las poleas, tales como poleas de secciones suaves de vector de bultos) en cualquier liso colector se desvanece; esto más o menos garantías que la gavilla de la teoría de no ser una herramienta muy útil en ese entorno.

Pero en el análisis complejo, esas técnicas no están disponibles, y de hecho en general en los complejos colectores de mayor cohomology de la estructura de la gavilla, y relacionados con las poleas, no tiene por qué desaparecer. Por lo tanto gavilla de la teoría se convierte en una herramienta útil. De hecho, se sabe de los resultados, tales como la clásica de Mittag-Leffler teorema local-global de la revisión de un cierto tipo es a veces posible en el análisis complejo; gavilla de la teoría (y especialmente gavilla cohomology) se convierte en una manera de medir los obstáculos tales parches, y de organización de la información acerca de los obstáculos (por ejemplo, de modo que uno puede demostrar que puede desaparecer en ciertas circunstancias).

Usted no debe pensar que gavilla teoría proporciona un reemplazo para la analítica de argumentos; por el contrario, proporciona un marco para organizar eficazmente que la analítica de entrada, y hacer útiles las deducciones de las que en un conceptualmente clara de la moda.

Answer 3

El Mittag-Leffler teorema dice lo siguiente:

Si $U\subset \mathbb C$ es abierta y si $D\subset U$ es un discreto cerrado subconjunto, se puede elegir arbitrariamente en cada una de las $d\in D$ un polo de desarrollo de la $\sum_{k=1}^{n(d)} a_k(\frac {1}{z- d})^k$ y existe una función de meromorphic $m\in \mathcal M(U)$ cuya parte polar en $d$ es el dado por el uno y holomorphic en $U\setminus D$.

En gavilla teórico términos de esto se deduce de la desaparición de la primera cohomology grupo de la gavilla de holomorphic funciones en el conjunto abierto: $H^1(U,\mathcal O)=0$.

No sólo puede Mittag-Leffler rápidamente se demostró por primera demostrar el teorema de fuga (un camino seguido por Hörmander aquí), pero esa gavilla de la teoría de la formulación sugiere que las declaraciones y las pruebas de los teoremas análogos arbitrarias de abrir las superficies de Riemann y para (Stein) colectores de dimensión arbitraria.

Answer 4

El espacio de étale de $\mathcal{O}$ proporciona una buena manera de pensar a continuación analítica--usted puede pensar como el dominio universal de mapas holomorphic de superficies de Riemann en $\mathbb{C}$. De Narasimhan Análisis complejo en una Variable tiene una sección que habla un poco sobre esto (aunque no asume usted sabe cualquier teoría de la gavilla ya, por lo que sientes hablado hasta un poco).