¿Un conjunto es infinito iff existe un corresponsal uno-a-uno con uno de sus subconjuntos apropiados?

Question

Maxwell Rosenlicht reclamaciones en "Introducción al análisis" que un conjunto es infinito si y sólo si puede ser colocado en una correspondencia uno a uno con un subconjunto de sí mismo.

Él dice que esto es evidente debido a un conjunto finito no puede ser colocado en una correspondencia uno a uno con un subconjunto de sí mismo (debido a que tiene menos elementos), y mientras que esto es razonable - no puedo seguir Rosenlicht en que "el de arriba sigue por lo tanto, obviamente". ¿Por qué tiene que ser un conjunto infinito sólo porque de alguna propiedad de finito de conjuntos?

Answer 1

En la terminología estándar, un "finito" set significa que uno cuya cardinalidad es un número natural, o en otras palabras, un conjunto de lo que es en bijective correspondencia con $\{i\in\mathbb N\mid i<n\}$ algunos $n\in \mathbb N$.

Un conjunto que no está en bijective correspondencia con cualquier subconjunto de sí mismo se llama Dedekind-finito.

Como nota, es obvio que un conjunto finito también es Dedekind-infinito. Pero tienes razón que es no evidente que cada una de Dedekind-conjunto finito es finito. De hecho, esto no es necesariamente cierto si estamos trabajando en una teoría de conjuntos sin el Axioma de Elección.

Si nos ¿ tiene el Axioma de Elección, sin embargo, se puede demostrar fácilmente que cada conjunto es finito o contiene un subconjunto (no necesariamente correcta), que es en bijective correspondencia con $\mathbb N$. En este último caso podemos probar el uso de Hilbert-la construcción del Hotel que el conjunto no es Dedekind-infinito.

(La prueba de dibujo. Deje $A$ ser un conjunto y asumir la $A$ no es finito. Arreglar una función de elección en el conjunto de subconjuntos no vacíos de a $A$. Construir a través de la inducción de una función de $f:\mathbb N\to A$ tal que $f(n)$ es el elemento seleccionado de $A_n = A\setminus f(\{0,1,2,\ldots,n-1\})$. Debido a $A$ no es finito, $A_n$ nunca está vacío. A continuación, $f$ es un bijection entre el $\mathbb N$ y un subconjunto de a $A$.)

Answer 2

Este es un tema relativamente subjetivo, estamos hablando de lo que significa, exactamente, un conjunto a ser infinitos.

Dicho esto, si está de acuerdo que un conjunto finito es, por definición, un conjunto que no se puede poner en correspondencia 1-1 con sí mismo y un conjunto que no es finito es infinito, se obtiene

$$ \left(A \mbox{ finite} \iff A \mbox{ cannot be put into 1-1 correspondence with a proper subset}\right) \implies \left(\lnot(A \mbox{ finite}) \iff \lnot(A \mbox{ cannot be put into 1-1 correspondence with a proper subset})\right) \implies \left(A \mbox{ infinite} \iff A \mbox{ can be put into 1-1 correspondence with a proper subset}\right) $$

Answer 3

Estoy de acuerdo con usted. El autor dio una razón para que un conjunto finito no puede tener una correspondencia uno a uno con un subconjunto de sí mismo, pero él hizo no dar una razón de por qué un conjunto que no tiene una correspondencia uno a uno con un subconjunto de sí mismo debe ser necesariamente finito. Por lo tanto, la única cosa que se puede lógicamente afirmar es que si un conjunto tiene una correspondencia uno a uno con un subconjunto de sí mismo, debe ser infinito. Él no da ninguna justificación para el si-y sólo si la relación.

En otras palabras, el autor afirma que

$$(A \implies \lnot B) \implies (\lnot A \iff B)$$

Que no es sonido. Habiendo dicho eso, el autor de la declaración es verdadera, a pesar del hecho de que su lógica no una copia de seguridad.

Answer 4

La definición aportada se suele tomar como la definición de "Dedekind finito", mientras que "finito" suele significar "equivalentes a un número natural/ordinal finito". Un conjunto finito siempre es Dedekind-infinito. Sin embargo, en la teoría de conjuntos sin el axioma de elección, es constante para un conjunto infinito a ser Dedekind-finito!

He aquí una prueba, usando el axioma de contables de la elección, ya que cada conjunto infinito tiene un countably subconjunto infinito, permitiendo de Hilbert hotel para finalizar el argumento.

Answer 5

Si set $S$ es finito entonces no hay tal subconjunto apropiado. Esto significa que si existe tal subconjunto apropiado para $S$ $S$ es infinito. Es justo $(A \implies B) \iff (\neg B \implies \neg A)$ $A = [\text{$S $ is finite}]$ y $B = [\text{no such proper subset exists}]$.