" $n$ es par si $n^2$ es par" y otros enunciados sencillos para enseñar a escribir pruebas

Question

Se supone que debo dar clases a estudiantes de licenciatura que no se especializan en matemáticas y me gustaría darles una breve introducción a las matemáticas razonamiento y al concepto de prueba . Busco enunciados matemáticos muy sencillos (verdadero o falso) para ayudarles a familiarizarse con la lógica y la redacción de pruebas.

No estoy seguro de que lo que pido esté claro, así que aquí están algunas ideas que se me ocurrieron:

1. Dejemos que $n$ sea un número entero. Si $n$ es un múltiplo de $42$ entonces $n$ está en paz.

2. Dejemos que $n$ sea un número entero. Si $n$ es un múltiplo de $43$ entonces $n$ es impar.

3. Si $x$ es un número real positivo, entonces $x^2 \geq x$ .

4. Para todos $n \in \Bbb Z$ , $n$ es par si $n^2$ está en paz.

5. No hay $x \in \Bbb Q$ tal que $x^2 = 2$ .

6. Existen números irracionales $\alpha,\beta > 0$ tal que $\alpha^\beta$ es racional.

7. Para todos $x \in \Bbb R$ si [para todo $\epsilon > 0$ , $|x| < \epsilon$ ], entonces $x = 0$ .

8. Existe $m \in \Bbb Z$ tal que, para todo $n \in \Bbb Z$ , uno tiene $n \leq m$ .

9. $(-1)\times (-1) = 1$

10. Para todos $x \in \Bbb R$ , uno tiene $0\times x = 0$ . (propuesto por Robert Auffarth)

11. Dejemos que $n$ sea un número entero positivo. Si $x$ es real y $x^n=0$ entonces $x = 0$ . (ibidem)

12. Supongamos que $b,d \neq 0$ y $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ . Entonces $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a+c}{b+d}$ .

Sería estupendo abarcar diferentes tipos de declaraciones.

Answer 1

• Hay un número infinito de primos (es decir, la prueba de Euclides).

• $a^p\equiv a\mod p$ implica $p$ es primo.

Answer 2

(Relacionado con su #12)

Dejemos que $a,b,c,d$ sean enteros positivos. Demostrar que si $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ entonces $\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}$ . (De manera similar para $>$ y $=$ .)

Answer 3

Un ejemplo interesante de una afirmación que podrían tratar de probar es:

Dejemos que $k \in \mathbb{Z}$ . Si $2k$ es impar, entonces $k$ debe ser impar.

Esto parece estar hecho para la contradicción o el contrapositivo, que funcionan bien. Sin embargo, aunque es una afirmación verdadera, podría mejorarse. Esto podría llevar a una discusión útil sobre el fortalecimiento de las hipótesis/conclusiones, la diferencia entre condiciones necesarias y suficientes, y los enunciados vacíos. Algunas de estas cosas pueden ser demasiado avanzadas para los estudiantes a los que estás enseñando, pero creo que el ejemplo es lo suficientemente simple para que lo entiendan si quieres desafiarlos.

Answer 4

Esto puede ser muy difícil para los que no son estudiantes de matemáticas: Cualquier polinomio real de grado $n$ tiene como máximo $n$ raíces.

Otras divertidas que los estudiantes conocen pero no saben cómo demostrar son:

1. Demostrar que $0\cdot x=0$ para cualquier número real $x$ .

2. Demostrar que $1\cdot x=x$ para cualquier número real $x$ .

3. Si $x^n=0$ para un número real $x$ entonces $x=0$ .