¿Ejemplo de una isometría no lineal?

Question

¿Hay un ejemplo simple de una isometría entre espacios vectoriales normados que no es un mapa afín?

Answer 1

La nota de Jussi Väisälä vinculada por el artículo de la Wikipedia sobre el Mazur–Ulam teorema contiene el siguiente ejemplo:

Una isometría no necesita ser afín. Para ver esto, vamos a $E$ ser la línea real $\mathbf{R}$, vamos a $F$ ser el avión con la norma $\lVert x \rVert = \max(|x_1|, |x_2|)$, y deje $\phi: R \to R$ ser cualquier función tal que $|\phi(s)-\phi(t)| \le |s-t|$ todos los $s, t \in\mathbf{R}$, por ejemplo, $\phi(t) = |t|$ o $\phi(t) = \sin t$. Establecimiento $f(s) = (s, \phi(s))$ obtenemos una isometría $f : E \to F$, que no suele ser afín.

(Pero, por supuesto, esto no es un bijection.)

Answer 2

Sí.


Que $\mathbb{C}$ sea un espacio del vector sobre sí mismo con valor absoluto como su norma.

Definir $ \; \; f : \mathbb{C} \to \mathbb{C} \; \; $ $ \; \; f(z) = \overline{z} \; \; $.

$f$ es una isometría no lineal (biyectiva) que satisface $\; f(0) = 0 \;$.


Ver el teorema de Mazur – Ulam.