El cierre de $\mathbb{Z\times Z\times R}$ % Homeo $(\mathbb R^2)$es el grupo de las traducciones de $\mathbb R^2$

Question

Esta pregunta está relacionada con esta cuestión , pero no el mismo

Deje $\mathbb{Z\times Z\times R}$ actuar en $\mathbb R^2$ $$(m,n,r)\cdot(x,y)=(x+m+r,y+n+r\sqrt{2})$ $ I necesidad de probar que los siguientes -

Si Homeo$(\mathbb R^2)$ se da el pacto abierto de la topología, a continuación, el cierre de $\mathbb{Z\times Z\times R}$ en Homeo$(\mathbb R^2)$ es el grupo de todas las traducciones de la $\mathbb R^2$

Mi intento -

Deje $f$ estar en el cierre de $\mathbb{Z\times Z\times R}$. Entonces existe una red de puntos de $(f_\alpha)\in\mathbb{Z\times Z\times R}$ (definido por $f_\alpha(x,y)=(x+n_\alpha+r_\alpha,y+m_\alpha+r_\alpha\sqrt{2})$ algunos $m_\alpha,n_\alpha\in\mathbb Z$$r_\alpha\in\mathbb R$) tal que $f_\alpha\longrightarrow f$. Así que para cualquier $(x,y)\in\mathbb R^2$ hemos

$$f_\alpha(x,y)\longrightarrow f(x,y)$$ $$\Rightarrow(x+n_\alpha+r_\alpha,y+m_\alpha+r_\alpha\sqrt{2})\longrightarrow f(x,y)$$ $$\Rightarrow (n_\alpha+r_\alpha,m_\alpha+r_\alpha\sqrt{2})\longrightarrow f(x,y)-(x,y):=(x_0,y_0)$$

Por lo tanto $(n_\alpha+r_\alpha,m_\alpha+r_\alpha\sqrt{2})\longrightarrow (x_0,y_0)$ y por Hausdorffness de $\mathbb R^2$ $(x_0,y_0)$ es independiente de la elección de $(x,y)$. Por lo$f$ es dado como la traducción por $(x_0,y_0)$.

Esto demuestra el cierre de $\mathbb{Z\times Z\times R}$ está contenida en el grupo de traducción de $\mathbb R^2$

¿Alguien que me ayude con el otro?

Si $f$ está dado por $f(x,y)=(x+x_0,y+y_0)$ entonces la necesidad de encontrar una red de puntos en $\mathbb{Z\times Z\times R}$ convergentes a $f$. He intentado dividir $x_0$ $y_0$ en número entero y parte fraccionaria, pero no estoy seguro de cómo ir desde allí. Sugerencias serán apreciados.

Gracias.

Answer 1

Deje $T_{v,u}(x,y)=T(x+v,x+u)$ ser la traducción por $(v,u)$. Queremos mostrar que es en el cierre de su familia de mapas. Desde su grupo de mapas que ya contiene toda la traducción con coeficientes enteros, podemos suponer que la $v,u \in \mathbb{R}/\mathbb{Z}$. Ahora elija $r=v+k$ donde $k$ es un número entero, por lo que el $r\equiv _\mathbb{Z} v$. Por lo tanto, modulo $\mathbb{Z}$ su grupo de acciones contiene una traducción por $(v,v\sqrt{2}+k\sqrt{2})$ para cada entero $k$. Comprueba por ti mismo que el conjunto de $\{k\sqrt{2} \mid k\in \mathbb{Z} \}$ es denso en $[0,1]$ modulo $\mathbb{Z}$, por lo que usted puede venir a cerca de como desea $u$.

Volviendo a las traducciones en $\mathbb{R}^2$ usted consigue que su grupo de traducciones contienen la traducción por $(v,u+\epsilon)$ donde $\epsilon$ puede ser tan pequeño como usted desea. Esta secuencia de traducción convergen (incluso de manera uniforme) a la traducción por $(v,u)$.

En un poco más de forma geométrica, la acción de la $\mathbb{R}$ sobre el torus $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ envío de $(x,y)$ $(x+r,x+r\sqrt{2})$tiene una densa órbita.

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EDIT: Para mostrar que $\{ \sqrt{2}k \mid k \in \mathbb{Z} \}$, lo primero que demostrar que para cada $n$ hay algo de $k_n$ tal que $\sqrt{2}k_n$ mod $\mathbb{Z}$$(0,\frac {1}{n})$. Una vez que usted tiene un $k_n$ se obtiene que los puntos consecutivos de la forma $\sqrt{2}k_n m$ $m\in\mathbb{Z}$ han distancia de menos de $\frac{1}{n}$. Como esto es cierto para cada $n$, usted puede conseguir tan cerca como quieras a cualquier punto en el círculo unitario (o, equivalentemente, en $[0,1]$).

Ahora fix $n$ y considerar la posibilidad de $k\sqrt{2}$$k=0,...,n$. Desde $\sqrt{2}$ no es racional, cualquiera de las dos puntos son distintos modulo $\mathbb{Z}$. Por lo tanto, divide el círculo unidad en n segmentos de la misma longitud, por el principio del palomar, algunos de estos segmentos contienen dos puntos de $k_1\sqrt{2},k_2\sqrt{2}$ e la $k_n$ será su diferencia.