Comportamiento asintótico de $\sum_{i>0} x^{p_i}$ como $x \to 1^-$

Question

La suma de los números naturales $ \sum_{n>0} x^n = \frac{x}{1-x}$ , por lo que como $x\to1^-$ diverge como $(1-x)^{-1}$ . Así que me pregunté qué pasaría si hacemos que el conjunto de suma sea más delgado, es decir $\sum_{n \in A} x^n$ para $A \subset \mathbb{N}$ .

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EDITAR Después de recibir sugerencias útiles, creo que lo entiendo un poco mejor. Si $A$ es un subconjunto finito, que $ \lim_{x\to 1^-} \sum_{n \in A} x^n = \vert A \vert$ . Así,

$$ \lim_{x\to 1^-} \frac{\sum_{k \in (A \cap (1,n))} x^k}{\sum_{k=1}^n x^k} = \frac{\vert A \vert}{n} $$

Tomar el límite $n\to \infty$ la relación da la densidad asintótica de $A$ en $\mathbb{N}$ si es que existe. En efecto,

$$ \sum_{n=1}^\infty x^{2n} = \frac{x^2}{1-x^2} \;\;\; \text{ therefore } \;\;\; \lim_{x->1^-} (1-x) \frac{x^2}{1-x^2} = \frac{1}{2} $$

Lo que aún no entiendo es cómo encontrar el comportamiento asintótico de la suma en caso de que el límite $\frac{\vert A\vert}{n}$ llega a cero, como en el caso de $A$ siendo el conjunto de números primos $A = \mathbb{P}$ .

Supongo que la técnica a utilizar aquí es aplicar la transformada de Mellin, y relacionar la tasa de divergencia con las propiedades de la función zeta.

$$ \sum_{n>=1} \int_0^\infty t^{s-1} e^{-t n} dt = \Gamma(s) \sum_{n>=1} n^{-s} = \Gamma(s) \zeta(s) $$

En el caso del conjunto primo esto da $\Gamma(s) \zeta_\mathbb{P}(s)$ que va como $log(s-1)$ para $s\to 1^+$ pero todavía no lo veo bien

Answer 1

Uno se interesa por el comportamiento cuando $x\to1$ de la función $f(x)=\sum\limits_na_nx^n$ , donde $a_n=[n\,\text{prime}]$ . La función $A$ definido en $t\ge0$ por $A(t)=\sum\limits_na_n[n\le t]$ enumera los números primos hasta $t$ por lo que se sabe que $A(t)\sim t/\log(t)$ cuando $t\to+\infty$ .

Ahora, $f(\text{e}^{-s})$ es el valor en $s$ de la transformada de Laplace de la medida no negativa con masa infinita $\text{d}A$ . Un resultado general sobre el comportamiento de las transformadas de Laplace (que, creo, se explica en el libro La transformada de Laplace de David V. Widder) afirma que, cuando $s\to0$ , $$ f(\text{e}^{-s})\sim A(1/s). $$ En nuestro caso, cuando $x\to1$ , $$ (1-x)f(x)\sim (1-x)A(1/(1-x))\sim1/|\log(1-x)|. $$