Resolución de % recursividad $3a_{n+1}=2(n+1)a_n+5(n+1)!$por funciones generatrices

Question

He estado tratando de resolver la recurrencia:

$$\begin{align*} a_{n+1}=\frac{2(n+1)a_n+5((n+1)!)}{3}, \end{align*}$$

donde $a_0=5$, a través de la generación de funciones, con poco éxito. Mi progreso hasta ahora es este:

Deje $A(x)=\sum_{n=0} ^{\infty} a_nx^n$. Multiplicando ambos lados de nuestra relación de recurrencia por $x^n$ y sumando más de $n$$0$$\infty$, vemos que $$\begin{align} \sum_{n=0} ^{\infty} a_{n+1} x^n = \frac{2}{3}\sum_{n=0} ^{\infty} (n+1)a_nx^n + \sum_{n=0} ^{\infty} (n+1)!x^n. \end{align}$$ El uso de nuestra definición de $A(x)$ podemos reescribir el lado izquierdo como $$\begin{align*} \sum_{n=0} ^{\infty} a_{n+1} x^n=\frac{A(x)-a_0}{x}. \end{align*}$$ Tales manipulaciones de la derecha han sido difíciles debido a los coeficientes de la alimentación de la serie.

Es de todos modos hay que continuar a partir de aquí, o son funciones de generación no es la adecuada para resolver este tipo de recurrencia?

Answer 1

Exponencial de la generación de la función de secuencia $\{a_n\}$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \frac{x^n}{n!}$. Reescribiendo la ecuación de recurrencia como $$\frac{a_{n+1}}{n+1} = \frac{2}{3} a_n + \frac{5}{3} n!$$ Ahora multiplicando ambos lados por $\frac{x^n}{n!}$ y el uso de la recurrencia de la relación de factorial: $$a_{n+1} \frac{x^n}{(n+1)!} = \frac{2}{3} a_n \frac{x^n}{n!} + \frac{5}{3} x^n$$ Suma de $n=0$ hasta el infinito: $$\frac{1}{x} \sum_{n=1}^\infty a_n \frac{x^n}{n!} = \frac{2}{3} \sum_{n=0}^\infty a_n \frac{x_n}{n!} + \frac{5}{3} \sum_{n=0}^\infty x^n$$ o $$\frac{1}{x} \left( f(x) - a_0 \right) = \frac{2}{3} f(x) + \frac{5}{3} \frac{1}{1-x}$$ La solución para $f(x)$ podemos obtener fácilmente: $$f(x) = \frac{5}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty (5 \cdot n!) \frac{x^n}{n!}$$ Por lo tanto la solución es $a_n = 5 \cdot n!$.

Answer 2

Funciones de generación son una especie de exageración aquí: introducción a $b_n=\frac{a_n}{n!}$, uno ve que la recursividad en $(a_n)_n$ se traduce como $b_{n+1}=\frac23b_n+\frac53$.

Esta es una afín a la recursividad por lo tanto, uno sabe que el centro de la recursión en su punto fijo, si un punto fijo existe, será lineal. Aquí el punto fijo resuelve $b=\frac23b+\frac53$, $b=5$. Y, sorpresa, se obtiene la relación lineal $b_{n+1}-5=\frac23(b_n-5)$ por cada $n\geqslant0$.

Iterando este rendimientos $b_n-5=\left(\frac23\right)^n(b_0-5)$, $\frac{a_n}{n!}-5=\left(\frac23\right)^n(a_0-5)$. Si $a_0=5$, el lado derecho es cero por lo tanto $a_n=5\cdot n!$ por cada $n\geqslant0$.

Answer 3

Una primera orden de recurrencia lineal no homogénea: $a_ {n + 1} - c_n a_n = f_n$$ puede reducirse a una suma telescópica dividiendo por la suma de factor $s_n = \prod_{0 \le k \le n} c_n$: $$\begin{align*} \frac{a_{n + 1}}{s_n} - \frac{a_n}{s_{n - 1}} &= \frac{f_n}{s_n} \\ \sum_{0 \le n \le m - 1} \frac{a_{n + 1}}{s_n} - \frac{a_n}{s_{n - 1}} &= \sum_{0 \le n \le m - 1} \frac{f_n}{s_n} \\ \frac{a_m}{s_{m - 1}} - \frac{a_0}{1} &= \sum_{0 \le n \le m - 1} \frac{f_n}{s_n} \end{align*}$$ es más fácil ir a través de esta danza cada vez. Aquí el factor de la suma es: $$\prod_{0 \le k \le n} \frac{2}{3}(n + 1) = \left (\frac {2} {3} \right)^{n + 1} (n + 1)!$$ Dividiendo a través de esto da: $$\begin{align*} \frac{a_{n + 1}}{(2 / 3)^{n + 1} (n + 1)!} - \frac{a_n}{(2/3)^n n!} &= \frac{5}{3 (2 / 3)^{n + 1}} \\ \frac{a_n}{(2/3)^n n!} - \frac{a_0}{1} &= \frac{5}{3} \sum_{0 \le k \le n - 1} (3/2)^{k + 1} \\ \frac{a_n}{(2/3)^n n!} &= 5 + \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{(3/2)^n - 1}{3/2 - 1} \\ &= 5 + 5 \left( (3/2)^n - 1 \right) \\ a_n &= 5 n! \end{align*}$$