Si un cristal tiene un grupo discreto de simetrías puntuales entonces las eigenfunciones electrónicas serán convenientemente invariantes bajo ese grupo. Formalmente, la simetría requiere que las funciones propias de un hamiltoniano con grupo de simetría $G$ pertenecen a los distintos representaciones de ese grupo.
En abstracto, una representación de un grupo $G$ es un espacio vectorial (en este caso un subespacio de energía degenerada) $V$ y una "receta" para transformar unitariamente los vectores en $V$ con las transformaciones de $G$ en forma de homomorfismo de grupo $R:G\rightarrow U(V)$ . Si se conoce la estructura de un grupo (en la forma de su tabla de multiplicación) entonces se pueden decir muchas cosas sobre sus posibles representaciones, que se suelen denotar con alguna notación estándar (por ejemplo $E$ , $A$ , $B$ etc.). Las funciones de onda se etiquetan por el tipo de representación del subespacio al que pertenecen.
Para volver a reducir esto al momento angular, los subespacios con diferentes $l$ son los diferentes subespacios de representación. El grupo en cuestión es el grupo de rotación $\text{SO} (3)$ . Tiene una familia infinita de representaciones de dimensión finita creciente, y el índice $l$ que los etiqueta es precisamente el número cuántico del momento angular de esas funciones de onda. En términos de teoría de grupos, entonces, "tener un momento angular definido" significa simplemente "pertenecer a una representación adecuada de $\text{SO} (3)$ ".
Así, un cristal con simetría puntual tendrá funciones propias electrónicas que sí tienen "momento angular cristalino definido", en el sentido de que pertenecen a una determinada representación del grupo puntual.
Añadido en respuesta al comentario:
Por desgracia, no existe ninguna cantidad física que corresponda a esta simetría. Esto se debe al hecho general de que las simetrías discretas no tienen generadores. Mientras que se pueden escribir rotaciones, por ejemplo, en la forma $e^{i\mathbf{J}\cdot\hat{\mathbf{n}}\theta}$ , donde $\mathbf{J}$ es el generador, esto no es realmente significativo para las simetrías discretas.
Una buena comparación para esto es la paridad: si $\Pi$ se desplaza con $H$ entonces decimos que la paridad se conserva, en el sentido de que la propia transformación es una constante del movimiento. Para un grupo discreto más general $G$ (en lugar de $G=\{-1,1\}$ para la paridad) entonces las etiquetas $+$ y $-$ se sustituyen por la representación del grupo. Del mismo modo, las etiquetas $l$ y $m$ corresponden a la representación del grupo y a los valores propios de alguna transformación particular del grupo. Ambos se conservan bajo $H$ pero no hay ningún generador.
