cuenta con innumerables subconjunto de $C[0,1]$ uniformemente convergente subsequence

Question

Si $S$ es un subconjunto incontable de $C[0,1]$, entonces hay un % de secuencia uniformemente convergente $\{f_n\}$de distintas funciones de $S$.

Sé cómo hacerlo desde $S \subset \cup_{m,n \ge 0 $C^1[0,1]$} \{f: \sup_{[0,1]} | f (x) | \le m, \sup_{[0,1]} | f | \le n \} $ y $\{f: \sup_{[0,1]} |f(x)| \le m, \sup_{[0,1]} |f'(x)| \le n \}$ deben ser incontables $m,n$ (ya que de lo contrario $S$ sería contable) y por lo tanto contiene una secuencia uniformemente convergente b y Arzelà-Ascoli.

Answer 1

Supongamos $S$ es tal que no $x \in C[0,1]$ es el uniforme - que es normwise - límite de una secuencia $(x_n)$ de los elementos distintos de a $S$.

Deje $x \in C[0,1]$, entonces no es un $\epsilon_x > 0$ tal que $U_{\epsilon_x}(x)= \{y \in C\in C[0,1] \mid \|x-y\| < \epsilon\}$ ha finito intersección con $S$ (de lo contrario, por $n \in\mathbb N$ deje $x_n \in U_{1/n}(x) \cap S$ pares distintos, dando a $x_n \to x$). Tenemos $C[0,1] = \bigcup_x U_{\epsilon_x}(x)$. Como $C[0,1]$ es seperable métrica, es Lindelöf, por lo tanto, no es un contable $A \subseteq C[0,1]$$C[0,1] = \bigcup_{x\in A} U_{\epsilon_x}(x)$. Ahora $S = \bigcup_{x \in A} (U_{\epsilon_x}(x) \cap S)$ es una contables de la unión de conjuntos finitos, por lo tanto contables.

Como su $S$ es incontable, hay un normwise convergente secuencia $(x_n)$ de los elementos distintos de a $S$.