¿Un anillo $\{0,1,c\}$, es $c^2=1$?

Question

Digamos que tienes un anillo arbitrario con tres elementos, $\{0,1,c\}$. ¿Por qué tiene que ser que $c^2=1$? ¿Si no asumimos que $c$ es invertible, lo que va mal si $c^2=0$ o $c^2=c$?

Answer 1

Tenga en cuenta que debemos tener $c+1=0$, ya que implica de $c+1=1$ $c=0$ $c+1=c$ $1=0$, dos contradicciones de implica. Por lo tanto tenemos $c=-1$. Por lo tanto, $c^2=(-1)^2=1$.

Answer 2

Como una forma diferente de verlo, un anillo con tres elementos en particular es un grupo con tres elementos. Ahora el único grupo de orden $3$ $\mathbb Z / 3 \mathbb Z$, tan claramente su $c$ debe ser $[2]$ y $c^2=[2]^2=[1]$.